如图，CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，I1、I2分别是△ADC、△BDC的内心，若AC=3，BC=4，则I1I2=________．

网友回答

解析分析：首先作I1E⊥AB于E，I2F⊥AB于F．在直角三角形ABC中，利用勾股定理求得AB的值，再运用射影定理求得AD、BD的长．因为I1E为直角三角形ACD的内切圆的半径，即可求得I1E的值．连接DI1、DI2，则DI1、DI2分别是∠ADC和∠BDC的平分线，利用垂直的定义，可得到I1D⊥I2D．利用在直角三角形中，直角边也对应角的关系，求得DI1、DI2的值，进而求得I1I2的值．

解答：解：作I1E⊥AB于E，I2F⊥AB于F，
在直角三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB==5，
又∵CD⊥AB，由射影定理可得AD==，
∴BD=AB-AD=，CD==，
∵I1E为直角三角形ACD的内切圆的半径，
∴I1E=（AD+CD-AC）=，
连接DI1、DI2，则DI1、DI2分别是∠ADC和∠BDC的平分线，
∵∠I1DC=∠I1DA=∠I2DC=∠I2DB=45°，
∴∠I1DI2=90°，
∴I1D⊥I2D，DI1===，
同理，可求得I2F=，DI2=，
∴I1I2==．

点评：本题考查内切圆与内心、勾股定理、解直角三角形．解决本题的基本思路是首先求得两个内切圆I1、I2的半径，再利用勾股定理求得DI1、DI2，最后在证明I1D⊥I2D的基础上求得I1I2的值．