大学高等数学问题,大学数学题

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4. u→0 时，tanu = u + u^3/3 +... , sinu = u - u^3/6 + ...
　　分子 = tanx + (tanx)^3/3 - sinx + (sinx)/6 + ......
　　= x + x^3/3 + (x + x^3/3)^3 - x + x^3/6 + (x - x^3/6)^3 + o(x^3)
　　= 5x^3/2 + o(x^3)
　　分母 = x + x^3/3 - x + x^3/6 + o(x^3) = x^3/2 + o(x^3)
　　原式 = lim<x→0>(5x^3/2)/(x^3/2) = 5

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条件极值，利用拉格朗日乘数法：
利润S=10x+9y-c=10x+9y-400-2x-3y-0.01(3x²+xy+3y²)
在约束条件x+y=100下的极值，由于是实际问题这个极值一定是最大值
构造函数f(x,y,λ)=S-λ(x+y-100)
=10x+9y-400-2x-3y-0.01(3x²+xy+3y²)-λ(x+y-100)
f(x,y,λ)分别对x，y，λ求偏导令为0可得：
-8+0.06x+0.01y-λ=0 （1）
-6+0.06y+0.01x-λ=0 （2）
x+y=100 （3）
容易解得
x=70
y=30