已知ABCD四点共圆，AB与DC相交于点E，AD与BC交于F，∠E的平分线EX与∠F的平分线FX交于X，M、N分别是AC与BD的中点，求证：（1）FX⊥EX；（2）F

网友回答

证明：（1）连接AX；
由图知：∠FDC是△ACD的一个外角，
则有：∠FDC=∠FAE+∠AED；①
同理，得：∠EBC=∠FAE+∠AFB；②
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠FDC=∠ABC；
又∵∠ABC+∠EBC=180°，即：∠FDC+∠EBC=180°；③
①+②，得：∠FDC+∠EBC=2∠FAE+（∠AED+∠AFB），
由③，得：2∠FAE+（∠AED+∠AFB）=180°；
∵FX、EX分别是∠AFB、∠AED的角平分线，
∴∠AFB=2∠AFX，∠AED=2∠AEX，代入上式得：
2∠FAE+2（∠AFX+∠AEX）=180°；
即∠FAE+∠AFX+∠AEX=180°；
由三角形的外角性质知：∠FXE=∠FAE+∠FAX+∠EAX，
故FXE=90°，即FX⊥EX．

（2）连接MF、FN，ME、NE；
∵∠FAC=∠FBD，∠DFB=∠CFA，
∴△FCA∽△FDB，
∴；
∵AC=2AM，BD=2BN，
∴；
又∵∠FAM=∠FBN，
∴△FAM∽△FBNA，得∠AFM=∠BFN；
又∵∠AFX=∠BFX，
∴∠AFX-∠AFM=∠BFX-∠BFN，即∠MFX=∠NFX；
同理可证得∠NEX=∠MEX，
故FX、EX分别平分∠MFN与∠MEN．
解析分析：（1）在△FDC中，由三角形的外角性质知∠FDC=∠FAE+∠AED①，同理可得∠EBC=∠FAE+∠AFB②；由于四边形ABCD内接于圆，则∠FDC=∠ABC，即∠FDC+∠EBC=180°，联立①②，即可证得∠AFB+∠AED+∠FAE=180°，而FX、EX分别是∠AFB和∠AED的角平分线，等量代换后可证得∠AFX+∠AEX+∠FAE=90°；可连接AX，此时发现∠FXE正好是∠AFX、∠AEX、∠FAE的和，由此可证得∠FXE是直角，即FX⊥EX；
（2）由已知易得∠AFX=∠BFX，欲证∠MFX=∠NFX，必须先证得∠AFM=∠BFN，可通过相似三角形来实现；首先连接FM、FN，易证得△FCA∽△FDB，可得到FA：FB=AC：BD，而AC=2AM，BD=2BN，通过等量代换，可求得FA：FB=AM：BN，再加上由圆周角定理得到的∠FAM=∠FBN，即可证得△FAM∽△FBN，由此可得到∠AFM=∠BFN，进一步可证得∠MFX=∠NFX，即FX平分∠MFN，同理可证得EX是∠MEN的角平分线．


点评：此题涉及的知识点较多，有：圆内接四边形的性质、三角形内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义以及相似三角形的判定和性质等；难点在于第（2）问，能够通过两步相似来得到与所求相关的等角，是解答此题的关键．