已知不等式［log2n］?,其中n为大于2的整数,［log2n］表示不超过log2n的最大

发布时间：2021-02-18 13:36:41

已知不等式［log2n］?,其中n为大于2的整数,［log2n］表示不超过log2n的最大整数,设数列{an}的各项为正,且满足a1=b(b＞0),an≤,n=2,3,4,….?

(1)证明an＜,n=3,4,5,….?

(2)猜测数列{an}是否有极限?如果有,写出极限的值(不必证明).?

(3)试确定一个正整数N,使得当n＞N时,对任意b＞0,都有an＜.


网友回答

答案:

解析:(1)证法一:∵当n≥2时,0＜,?

∴,?

即.?

于是有?

, ,…,.?

由不等式两边相加可得?

.?

由已知不等式知,当n≥3时有?

［log2n］.?

∵a1=b,?

∴［log2n］=,an＜.?

证法二:设f(n)=++…+,首先利用数学归纳法证不等式an≤,n=3,4,5,….

①n=3时,由a3≤,?

知不等式成立.?

②假设当n=k(k≥3)时,不等式成立,?

即ak≤,?

则ak+1≤?

=

≤

=

=

=,?

即当n=k+1时,不等式也成立.?

由①②知,an≤,n=3,4,5,….??

又由已知不等式得?

an＜,n=3,4,5,….?

(2)有极限,且an=0.?

(3)∵,?

令,?

则有log2n≥［log2n］＞10?

n＞210 =1 024,?

故取N=1 024,可使当n＞N时,都有an＜.

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