高中数学 函数问题 答案加解释函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则(

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这个题输入估计有一点错误,原题为2009年全国Ⅰ高考数学理科第11题
函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则( )
A.f（x）是偶函数 B.f（x）是奇函数 C.f（x）=f（x+2）D.f（x+3）是奇函数
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
楼上不要复制别人的了。。这道题是没有答案的。。这道题出自某年的高考原题，当时D选项是f（x+3）是奇函数，那道题选D没错，这道题是f（x+2）是奇函数，因为该函数周期是4，所以f（x+2）一定不是奇函数。
具体的分析过程
∵f（x+1）与f（x-1）都是奇函数，
∴f（-x+1）=-f（x+1），f（-x-1）=-f（x-1）（*），
∴函数f（x）关于点（1，0），
及点（-1，0）对称，
函数f（x）是周期T=2[1-（-1）]=4的周期函数．
∴由（*）式得：f（-x-1+4）=-f（x-1+4），
f（-x+3）=-f（x+3），
f（x+3）是奇函数．
希望对你有帮助~
供参考答案2:
∵f(x+1)与f(x-1)都是奇函数
∴f(x+1)=-f(-x+1),f(x-1)=-f(-x-1)
∴f(x+3)=f(x+2+1)=-f[-(x+2)+1]=-f(-x-1)=f(x-1)
∵f(x+3)=f(x-1)
又∵-f(-x+3)=-f[-(x-2)+1]=f[(x-2)+1]=f(x-1)
∴f(x+3)=-f(-x+3)
∴f（x+3）是奇函数
∴选DPS：D项为（X+3）不是（X+2）
供参考答案3:
依题意，要使f(m) = - f(n)，只需m+n=(x+1)+(-x+1)=2或m+n=(x-1)+(-x-1)=-2（令n=-m，则f(m)=-f(-m)，m+n=0不成立，故f(x)不是奇函数。)由上述结论可得
f(x)=-f(-x-2)=f(x+4)，即f(x)=f(x+4)，C错；而f(-2)=f(-2+4)=f(2)，由于不确定f(2)是否为0，故存在f(x)不等于-f(-x)，B错，而f(x)=-f(-x+2)，-f(-x)=f(x+2)，则B与D等同，B错D也错（其实BD都是同一函数，单选题不可能选两个，可直接排除）。对A反证，若f(x)是偶函数，则f(x)=f(-x),即-f(-x-2)=-f(x+2)，从而f(x+2)=f[-(x+2)]与f(x)=f(-x)等同，满足题目条件及f(2+4t)=f(-2-4t)（t=0,1,2,…），故f(x)可以为偶函数，但不一定就是偶函数。
结合f(x)=f(x+4)得，
要使f(m)=-f(n)，只需m+n=2+4k（k为整数）从而f(x)=-f(-x+2+4k)即f(x+2k+1)=-f(-x+2k+1)，当k=1时f(x+3)=-f (-x+3)
供参考答案4:
f(x+1)为奇函数，∴f(x)关于（1，0）对称。这个对称是奇函数的中心对称，然后-x和x+2关于（1，0）对称，所以f(-x) = -f(x+2), ①
ps：就像是如果g(x)是个奇函数，那么g(x)关于（0,0）中心对称，然后-x和x关于（0,0）是对称点，所以g(-x)=-g(x)
然后f(x-1)为奇函数，f(x)关于（-1，0）对称,f(-x) = -f(x-2),
所以f(x+4) = f(x)，f(x)是周期为4的周期函数。②
根据①式，可知D正确 其他都错