已知函数，常数a＞0．（1）设m?n＞0，证明：函数f（x）在[m，n]上单调递增；（2）设0＜m＜n且f（x）的定义域和值域都是[m，n]，求n-m的最大值．

网友回答

解：（1）任取x1，x2∈[m，n]，且x1＜x2，，
因为x1＜x2，x1，x2∈[m，n]，所以x1x2＞0，即f（x1）＜f（x2），故f（x）在[m，n]上单调递增．
（2）因为f（x）在[m，n]上单调递增，f（x）的定义域、值域都是[m，n]?f（m）=m，f（n）=n，
即m，n是方程的两个不等的正根?a2x2-（2a2+a）x+1=0有两个不等的正根．
所以△=（2a2+a）2-4a2＞0，．
∴，
∴时，n-m取最大值．
解析分析：（1）先在m，n]上任取两变量x1，x2，且界定大小，再作差f（x1）-f（x2）变形看符号；
（2）因为f（x）在[m，n]上单调递增，f（x）的定义域、值域都是[m，n]?f（m）=m，f（n）=n，得出m，n是方程的两个不等的正根?a2x2-（2a2+a）x+1=0有两个不等的正根．利用根的判断式求得a的范围，最后利用二次函数的性质求出n-m的最大值即可．

点评：本题主要考查用单调性定义证明函数的单调性，函数的值域等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．