如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分线，DE∥BC交AC于点E，DF∥AC交BC于点F．求证：①四边形CEDF是正方形．②CD2=2AE?BF．

网友回答

证明：①∵∠ACB=90°，DE∥BC，DF∥AC，
∴DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠ECF=∠DEC=∠DFC=90°，
∵CD是角平分线
∴DE=DF，
即四边形CEDF是正方形；

②在Rt△AED和Rt△DFB中，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，
∴Rt△AED∽Rt△DFB，
∴，
即DE?DF=AE?BF，
∵CD=DE=DF，
∴CD2=DE?DF=2DE?DF=2AE?BF．
解析分析：①由于∠ACB=90°，DE∥BC，DF∥AC，利用平行线的性质，可得∠ECF=∠DEC=∠DFC=90°，可知四边形CEDF是矩形，而CD是角平分线，那么有DE=DF，于是可证四边形CEDF是正方形；
②由于DE∥BC，那么∠ADE=∠B，再加上一对直角相等，可证Rt△AED∽Rt△DFB，从而有DE?DF=AE?BF，
又四边形CEDF是正方形，于是CD=DE=DF，从而易证CD2=2AE?BF．

点评：本题考查了平行线的性质、角平分线定理、正方形的判定和性质、相似三角形的判定和性质．注意一组邻边相等的矩形是正方形．