如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=，BC=6，∠B=45°．直角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与腰CD（或CD的延长线）交于点F．设BE=x，CF=y．
（1）求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求当x为何值时，y取得最大值，并求出该最大值；
（3）若△ABE为等腰三角形，求CF的长．
网友回答
解：（1）由题意得∠B=∠C，∠AEB=180°-∠AEF-∠FEC=180°-45°=∠EFC．
∴△ABE∽△EFC，可得===，
故可得（0≤x≤6）；
（2）由（1）得，
∴当x=3时，y取得最大值=．
（3）△ABE为等腰三角形有两种情况，AB=AE或AE=BE或AB=BE
①当AB=AE时BE=4，代入（1）的关系式可得，
②当AE=BE时BE=2，代入关系式可得，y的大小既是CF的长．
③当AB=BE=2时，
∵∠B=45°，
∴∠BEA=67.5°，
∴∠FEC=180°-∠BEA-∠AEF=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴∠CFE=180°-∠FEC-∠C=180°-67.5°-45°=67.5°，
∴CF=CE=BC-BE=6-2；
故可得：若△ABE为等腰三角形，CF的长为或6-2．
解析分析：（1）由题意得∠B=∠C，再求得∠AEB=∠EFC，可得出△ABE∽△EFC，从而得出y与x的函数关系式，又E再BC上运动可得（0≤x≤6）；
（2）根据（1）的二次函数的关系式可求y的最大值；
（3）△ABE为等腰三角形有两种情况，AB=AE或AE=BE①当AB=AE时BE=4，代入（1）的关系式可得②当AE=BE时BE=2代入关系式可得．③当AB=BE时也可求出CF的长．
点评：本题属有难度的题，关键在于观察x与y的关系怎样建立，得出x与y的关系后就简单了．