已知定义在R上的奇函数f（x）=x3+bx2+cx+d在x=±1处取得极值．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）试证：对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f（x1）-f（x2）|≤4成立；
（Ⅲ）若过点P（m，n），（m、n∈R，且|m|＜2）可作曲线y=f（x）的三条切线，试求点P对应平面区域的面积．
网友回答
解：（I）由题意f（0）=0，
∴d=0，
∴f′（x）=3x2+2bx+c，又f′（1）=f′（-1）=0，
即，
解得b=0，c=-3．
∴f（x）=x3-3x；
（II）∵f（x）=x3-3x，f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），
当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，
故f（x）在区间[-1，1]上为减函数，
∴fmax（x）=f（-1）=2，fmin（x）=f（1）=-2
对于区间[-1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，
∴|f（x1）-f（x2）|≤f（-1）-f（1）=4；
（III）设切点为M（x0，y0），
则点M的坐标满足y0=x03-3x0．
因f′（x0）=3（x02-1），
故切线l的方程为：y-y0=3（x02-1）（x-x0），
∵P（m，n）∈l，∴n-（x03-3x0）=3（x02-1）（m-x0）
整理得2x03-3mx02+3m+n=0．
∵若过点P（m，n）可作曲线y=f（x）的三条切线，
∴关于x0方程2x03-3mx02+3m+n=0有三个实根．
设g（x0）=2x03-3mx02+3m+n，
则g′（x0）=6x02-6mx0=6x0（x0-m），
由g′（x0）=0，得x0=0或x0=m．
由对称性，先考虑m＞0
∵g（x0）在（-∞，0），（m，+∞）上单调递增，
在（0，m）上单调递减．
∴函数g（x0）=2x03-3mx02+3m+n的极值点为x0=0，或x0=m
∴关于x0方程2x03-3mx02+3m+n=0有三个实根的充要条件是，
解得-3m＜n＜m3-3m．
故0＜m＜2时，点P对应平面区域的面积
故|m|＜2时，所求点P对应平面区域的面积为2S，即8．
解析分析：（I）先通过函数f（x）在R上是奇函数，得出f（0）=0确定d的值，再通过f（x）在x=±1处取得极值得出f′（1）=f′（-1）=0，进而求出a，b的值
（II）导函数在区间（-1，1）上f′（x）＜0，得出f（x）在区间（-1，1）上单调递减．进而求出函数的最大最小值．进而证明题设．
（III）设切点为M（x0，y0），求出切线方程．点p代入切线方程，因由三条切线，可推出关于x0的方程有3个根，通过导函数求出m的值．在（0，2）求得p对应的面积，再通过对称性，得出