如何快速求出所有的勾股数,勾股数有什么规律？？

网友回答

1． 定义：凡符合X＾2+Y＾2=Z＾2公式的正整数值我们称之为勾股数。X和Y是直角边，Z是斜边。
　　2． 凡有公约数的勾股数我们称之为派生勾股数，e799bee5baa6e997aee7ad9431333335333062例[30，40，50] 等；
　　3． 无公约数的勾股数，例[3，4，5]；[8，15，17]等，我们称之为勾股数。全是偶数的勾股数必是派生勾股数，三个奇数不可能符合定义公式。因此，勾股数唯一的可能性是：
　　X和Y分别是奇数和偶数（偶数和奇数），斜边Z只能是奇数。
　　4． 勾股数具有以下特性：
　　斜边与偶数边之差是奇数,这个奇数只能是某奇数的平方数, 例1,9,25,49,……，至无穷大；
　　斜边与奇数边之差是偶数,这个偶数只能是某偶数平方数的一半, 例2，8，18，32，……，至无穷大；
　　5． 由以上定义我们推导出勾股公式：
　　 X = P＾2 + PQ　　　　　　　　　　（X等于P平方加PQ）
　　 Y = Q＾2/ 2 + PQ　　　　　　　　（Y等于二分之Q方加PQ）
　　 Z = P＾2 + Q＾2 / 2 + PQ　　　　（Z等于P平方加二分之Q方加PQ）
　　6． 此公式涵盖了自然界的全部勾股数，包括派生勾股数。
　　7． 用此公式很容易导出全部勾股数，例如2000以内的勾股数计有320组,（不含派生勾股数）。最大的一组是 [315, 1972, 1997]
　　8． 斜边是1105和1885的勾股数各有4组：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　[47，1104，1105] [264，1703，1105] [576，943，1105] [744，817，1105]；
　　 [427，1836，1885] [1003，1596，1885] [1643，924，1885] [1813，516，1885]；
　　9． 以任意奇数代入P ，任意偶数代入Q ，即可得到唯一一组勾股数。
　　 例如P = 5 ，Q = 8 ，得到
　　 X = 25 + 5×8 = 65
　　 Y = 32 + 5×8 = 72
　　 Z = 25 + 32 + 5×8 = 97
　　10． 它极清楚地显示出了斜边与偶数直角边之差是奇数的平方，斜边与奇数直角边之差是偶数平方值的一半，而斜边则是由奇数的平方与偶数平方的一半和此奇数与偶数之积三项之和所构成。
　　11． 当P与Q有公约数时，例如9与12 ，再例如21与28等，推导出来的是派生勾股数；
　　当P与Q无公约数时，例如9 与8 ，再例如21与16等，推导出来的是勾股数；
　　12． 不存在不符合本公式的勾股数。例如有人奉献趣味勾股数[88209，90288，126225]，它实际 是个派生勾股数，它是[297，304，425]乘297倍而成，它是由P = 11和Q = 16导出。
　　13． 本文所提供的公式是依据本文第4条的两条勾股数特性规律推导而出，但是它可以与六百年前印度婆罗门笈多公式相互推导。
　　14． 依据本公式勾股定理可从正整数拓展到负整数。在笛卡尔座标图上，勾股三角形可以在更大的位置上显现。
　　万望采纳

网友回答

在直角三角形中，若以a、b表示两条直角边，c表示斜边，勾股定理可以表述为a2+b2=c2。
　　满足这个等式的正整数a、b、c叫做一组勾股数。
　　例如（3、4、5），（5、12、13），（6、8、10），（7、24、25）等一组一组的数，每一组都能满足a2+b2=c2，因此它们都是勾股数组（其中3、4、5是最简单的一组勾股数）。显然，若直角三角形的边长都为正整数，则这三个数便构成一组勾股数；反之，每一组勾股数都能确定一个边长是正整数的直角三角形。因此，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义。
　　1．任取两个正整数m、n，使2mn是一个完全平方数，那么
　　c=2+9+6=17。
　　则8、15、17便是一组勾股数。
　　证明：e69da5e887aae799bee5baa6e997aee7ad9431333332643164
　　∴a、b、c构成一组勾股数
　　2．任取两个正整数m、n、(m＞n)，那么
　　a=m2-n2，b=2mn，c=m2+n2构成一组勾股数。
　　例如：当m=4，n=3时，
　　a=42-32=7,b=2×4×3=24，c=42+32=25
　　则7、24、25便是一组勾股数。
　　证明：
　　∵ a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2
　　=m4-2m2n2+n4+4m2n2
　　=m4+2m2n2+4n2
　　=(m2+n2)2
　　=c2
　　∴a、b、c构成一组勾股数。
　　3．若勾股数组中的某一个数已经确定，可用如下的方法确定另外两个数。
　　首先观察已知数是奇数还是偶数。
　　(1)若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么奇数与这两个整数构成一组勾股数。
　　例如9是勾股数中的一个数，
　　那么9、40、41便是一组勾股数。
　　证明：设大于1的奇数为2n+1，那么把它平方后拆成相邻的两个整数为
　　(2)若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得到的两个整数和这个偶数构成一组勾股数。
　　例如8是勾股数组中的一个数。
　　那么8、15，17便是一组勾股数。
　　证明：设大于2的偶数2n，那么把这个偶数除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1所得的两个整数为n2-1和n2+1
　　∵(2n)2+(n2-1)2=4n2+n4-2n2+1
　　=n4+2n2+1
　　=(n2+1)2
　　∴2n、n2-1、n2+1构成一组勾股数。