如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图象与x轴交与A，B两点，与y轴交与点C，已知点A的坐标为（-2，0），sin∠ABC=，点D是抛物线的顶点，直线D

网友回答

解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图象与y轴交与点C，
∴点C（0，8），即OC=8；
Rt△OBC中，BC=OC÷sin∠ABC=8÷=4，
OB==4，
则点B（4，0）．
将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，得：
．
解得，
故抛物线的解析式：y=-x2+2x+8=-（x-1）2+9，顶点D（1，9）；

（2）在直线CD上存在点Q，能够使以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．理由如下：
设直线CD的解析式为y=kx+m，
将C（0，8），D（1，9）代入，
得，解得，
则直线CD的解析式为y=x+8．
设Q点的坐标为（x，x+8）．
以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况讨论：
①当BQ=BC=4时，有（x-4）2+（x+8）2=80，
整理，得2x2+8x=0，
解得x1=-4，x2=0（不合题意，舍去）．
当x=-4时，x+8=4，即此时Q点的坐标为（-4，4）；
②当CQ=BC=4时，有x2+（x+8-8）2=80，
整理，得2x2=80，
解得x1=2，x2=-2．
当x=2时，x+8=2+8，即此时Q点的坐标为（2，2+8）；
当x=-2时，x+8=-2+8，即此时Q点的坐标为（-2，-2+8）；
③当QB=QC时，有（x-4）2+（x+8）2=x2+（x+8-8）2，
整理，得8x+80=0，
解得x=-10．
当x=-10时，x+8=-2，即此时Q点的坐标为（-10，-2）．
综上可知，在直线CD上存在点Q，能够使以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形，此时点Q的坐标为（-4，4）或（2，2+8）或（-2，-2+8）或（-10，-2）；

（3）设直线CD：y=x+8与x轴交于点E，则点E（-8，0），OC=OE=8，∠CEO=45°．
设直线y=2x-4与直线CD交于点F，分两种情况讨论：
①当点P在点F的下方时，如右图1，过点P作PQ⊥x轴于点Q．
在四边形EMPQ中，∠MPQ=360°-∠PME-∠PQE-∠MEQ=360°-90°-90°-45°=135°，
当∠MPO=75°时，∠OPQ=135°-75°=60°，∠POQ=30°，则直线OP的解析式为y=x．
解方程组，得，
即此时P点的坐标为（，）；
②当点P在点F的上方时，如右图2，过点P作PQ⊥x轴于点Q，设直线CD与直线OP交于点G．
在△MPG中，∠MGP=180°-∠PMG-∠GPM=180°-90°-75°=15°，
∴∠EGO=∠MGP=15°，
∴∠GOQ=∠GEO+∠EGO=45°+15°=60°，
∴直线OP的解析式为y=x．
解方程组，得，
即此时P点的坐标为（8+4，8+12）．
综上可知，点P的坐标为（，）或（8+4，8+12）．
解析分析：（1）先由二次函数的解析式求出点C的坐标，然后在Rt△BOC中，根据sin∠ABC的值得到点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入抛物线的解析式，利用待定系数法求出解析式，通过对解析式进行配方即可得到顶点D的坐标；
（2）先利用待定系数法求出直线CD的解析式为y=x+8，那么可设Q点的坐标为（x，x+8）．当以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①BQ=BC；②CQ=BC；③QB=QC．然后针对每一种情况，根据两点间的距离公式列出方程，解方程即可；
（3）先求出直线CD：y=x+8与x轴的交点E的坐标，得到OC=OE=8，∠CEO=45°．设直线y=2x-4与直线CD交于点F，分两种情况进行讨论：①当点P在点F的下方时，过点P作PQ⊥x轴于点Q．根据四边形内角和定理求出∠MPQ=135°，根据三角形内角和定理求出∠POQ=30°，得到直线OP的解析式为y=x，解方程组即可求出点P的坐标；②当点P在点F的上方时，过点P作PQ⊥x轴于点Q，设直线CD与直线OP交于点G．根据三角形内角和定理及外角的性质得出∠GOQ=60°，得到直线OP的解析式为y=x，解方程组即可求出点P的坐标．

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，多边形内角和定理，两点间的距离公式，两函数交点坐标的求法等知识，综合性较强，有一定难度．利用分类讨论及数形结合的思想是解题的关键．