发布时间：2021-02-17 23:12:55
(25分)图中正方形ABCD是水平放置的固定梁的横截面，AB是水平的，截面的边长都是l.一根长为2l的柔软的轻细绳，一端固定在A点，另一端系一质量为m的小球，初始时，手持小球，将绳拉直，绕过B点使小球处于C点.现给小球一竖直向下的初速度v0，使小球与CB边无接触地向下运动，当，分别取下列两值时，小球将打到梁上的何处？
1.
2.
设绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的.
解析：
小球获得沿竖直向下的初速度v0后，由于细绳处于松弛状态，故从C点开始，小球沿竖直方向作初速度为v0、加速度为g的匀加速直线运动.当小球运动到图1中的M点时，绳刚被拉直，匀加速直线运动终止，此时绳与竖直方向的夹角为α=30°.在这过程中，小球下落的距离 (1)
细绳刚拉直时小球的速度v1满足下式：
(2)
在细绳拉紧的瞬间，由于绳的伸长量可不计而且绳是非弹性的，故小球沿细绳方向的分速度v1cosα变为零，而与绳垂直的分速度保持不变，以后小球将从M点开始以初速度
(3)
在竖直平面内作圆周运动，圆周的半径为2l，圆心位于A点，如图1所示.由(1)、(2)、(3)式得
(4)
当小球沿圆周运动到图中的N点时，其速度为v，细绳与水平方向的夹角为θ，由能量关系有 (5)
用FT表示绳对小球的拉力，有 (6)
1.
设在θ=θ1时(见图2)，绳开始松弛，FT=0，小球的速度v=u1.以此代入(5)、(6)两式得
(7)
(8)
由(4)、(7)、(8)式和题设v0的数值可求得θ1=45° (9)
(10)
即在θ1=45°时，绳开始松弛.以N1表示此时小球在圆周上的位置，此后，小球将脱离圆轨道从N1处以大小为u1，方向与水平方向成45°角的初速度作斜抛运动
以N1点为坐标原点，建立直角坐标系N1xy，x轴水平向右，y轴竖直向上.若以小球从N1处抛出的时刻作为计时起点，小球在时刻t的坐标分别为
(11)
(12)
由(11)、(12)式，注意到(10)式，可得小球的轨道方程：
(13)
AD面的横坐标为 (14)
由(13)、(14)式可得小球通过AD所在竖直平面的纵坐标y=0 (15)
由此可见小球将在D点上方越过，然后打到DC边上，DC边的纵坐标为
(16)
把(16)式代入(13)式，解得小球与DC边撞击点的横坐标x=1.75l (17)
撞击点与D点的距离为△l=x-2lcos45°=0.35l (18)
2.
设在θ=θ2时，绳松弛，FT=0，小球的速度v=u2，以此代替(5)、(6)式中的θ1、u1，得
(19)
(20)
以代入(4)式，与(19)、(20)式联立，可解得
θ2=90° (21)
(22)
(22)式表示小球到达圆周的最高点处时，绳中张力为0，随后绳子被拉紧，球速增大，绳中的拉力不断增加，拉力和重力沿绳子的分力之和等于小球沿圆周运动所需的向心力，小球将绕以D点为圆心，l为半径的圆周打到梁上的C点.
评分标准：(本题25分)
(3)式2分，(5)、(6)式各1分，(9)、(10)式各3分，得出小球不可能打在AD边上，给3分.得出小球能打在DC边上，给2分，正确求出小球打在DC边上的位置给2分，求出(21)、(22)式各占3分，得出小球能打在C点，再给2分.
如果学生直接从抛物线方程和y=-(2lsin45°-l)=-(-1)l求出x=1.75l，同样给分.不必证明不能撞击在AD边上.