一个矩形的长、宽和它的对角线都是整数,求证:矩形的面积是12的倍数.

网友回答

矩形的长、宽和它的对角线构成了勾股的三个量,
符合都是整数的话,应该是(3a)²+(4a)²=(5a)²,那么矩形的面积是3a x 4a =12a²,
所以,矩形的面积是12的倍数.
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
不一定是3、4、5吧 此题初一困扰我一周才解决 用的同余
供参考答案2:
若长，宽，对角线都是整数 则其最小为3 4 5
设长为3x，宽为4y
则面积S=12xy
所以 为12的倍数
供参考答案3:
长宽对角线为一对勾股数，而最小的一对正整数勾股数为3、4、5、设公比为x，那么宽为3x，长为4x，面积为12x平方，即12的倍数。过程：因为长宽对角线为一对勾股数。又因为最小的一对正整数勾股数为3、4、5。所以长为3n，宽为4n面积则为12n的平方，所以这个矩形的面积为的12倍数
供参考答案4:
用格点问题解决，S=N+L/2-1,设长为X,宽为Y，对角线为根号下X^2+Y^2,
供参考答案5:
，符合都是整数的话，应该是(3a)²+(4a)²=(5a)²，那么矩形的面积是3a x 4a =12a²，
，矩形的面积是12的倍数
供参考答案6:
在矩形中，长宽以及对角线都是整数意味着，在由长（a）宽（b）和对角线（c）构成的直角三角形中，a^2+b^2=c^2且a,b,c均为正整数
所以a,b,c满足a=k(m^2-n^2),b=2kmn,c=k(m^2+n^2)（其中k,m,n均为正整数）
所以矩形面积为S=ab=2k^2*mn*(m-n)*(m+n)
1.若m,n除以3余数相同，即m≡n(mod 3)，则m-n必能被3整除，又因为m,n,(m-n),(m+n)其中至少有一个是偶数，所以S能被12整除；（包含余数对为,,）
2.若m,n分别除以3后，余数之和为3或0，则(m+n)必能被3整除，又因为m,n,(m-n),(m+n)其中至少有一个是偶数，所以S能被12整除；（包含余数对为,）
3.若m,n中有一个除以3余0，则m和n中有一个必能被3整除，又因为m,n,(m-n),(m+n)其中至少有一个是偶数，所以S能被12整除；（包含余数有一个为0的所有情况）
上面三种情况包含了所有余数的情况
综上所述，S总能被12整除，所以这个矩形的面积必为12的倍数
供参考答案7:
证明：设长为a，宽为b,对角线为c,则a2+b2=c2 (a、b、c均为正整数)
（1）a、b中至少有一个能被3整除。
因为一个正整数被3整除，其平方也能被3整除；一个正整数不能被3整除，则其平方被3除只能余1。假设a、b都不能被3整除，那么a2+b2 被3除余2，即c2被3除余2，这是不可能的。
（2）ab能被4整除。
i) a、b都是偶数。显然ab能被4整除。
ii）a、b都是奇数。则a2、b2被4除分别余1，a2+b2被4除余2，即c2被4除余2，但不论c为奇数还是偶数，其平方被4除只能余0或1，因此，a、b不可能都是奇数。
iii) a、b一奇一偶。不妨假设a偶b奇，由a2+b2=c2可知，c为奇数。由a2+b2=c2变形得：（a/2）2=(c+b)/2 × (c-b)/2 。因为b、c都是奇数，所以(c+b)/2 、 (c-b)/2都是整数，并且其和为奇数c，因而(c+b)/2 、 (c-b)/2必定一奇一偶，从而(c+b)/2 × (c-b)/2是偶数，即（a/2）2是偶数，由此可知，a/2是偶数，即a是4的倍数，所以ab能被4整除。
综上，a、b中至少有一个能被3整除，且ab能被4整除，所以ab能被12整除，即这个矩形的面积是12的倍数。
供参考答案8:
若长，宽，对角线都是整数 则其最小为3 4 5
设长为3x，宽为4y