矩形的长 宽 对角线都为整数,证明 面积为12的倍数详细一点

网友回答

在矩形中,长宽以及对角线都是整数意味着,在由长（a）宽（b）和对角线（c）构成的直角三角形中,a^2+b^2=c^2且a,b,c均为正整数
所以a,b,c满足a=k(m^2-n^2),b=2kmn,c=k(m^2+n^2)（其中k,m,n均为正整数）
所以矩形面积为S=ab=2k^2*mn*(m-n)*(m+n)
1.若m,n除以3余数相同,即m≡n(mod 3),则m-n必能被3整除,又因为m,n,(m-n),(m+n)其中至少有一个是偶数,所以S能被12整除；（包含余数对为,,）
2.若m,n分别除以3后,余数之和为3或0,则(m+n)必能被3整除,又因为m,n,(m-n),(m+n)其中至少有一个是偶数,所以S能被12整除；（包含余数对为,）
3.若m,n中有一个除以3余0,则m和n中有一个必能被3整除,又因为m,n,(m-n),(m+n)其中至少有一个是偶数,所以S能被12整除；（包含余数有一个为0的所有情况）
上面三种情况包含了所有余数的情况
综上所述,S总能被12整除,所以这个矩形的面积必为12的倍数
======以下答案可供参考======
供参考答案1:
如题，矩形的长宽和对角线都为整数，对角线的长度等于长和宽的平方和再开方。根据勾股玄定理，所以符合条件的最小整数是3，4，5。矩形的面积是长和宽的乘积，即：3×4=12 ，故矩形的面积为12的倍数。
供参考答案2:
根据勾股定理来看，长，宽，对角线都为整数。最小3,4,5。
设长 宽 对角线分别为 3k 4k 5k
S=12k^2
所以都是12的倍数
供参考答案3:
根据勾股定理来看，长，宽，对角线都为整数。最小3,4,5。
设长 宽 对角线分别为 3k 4k 5k
S=12k^2
所以都是12的倍数
这是错的！5,12,13不也是勾股数吗！怎么用 3k 4k 5k 表示？