如图，在直角坐标系中，等腰梯形ABB1A1的对称轴为y轴．
（1）请画出：点A、B关于原点O的对称点A2、B2（应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）；
（2）连接A1A2、B1B2（其中A2、B2为（1）中所画的点），试证明：x轴垂直平分线段A1A2、B1B2；
（3）设线段AB两端点的坐标分别为A（-2，4）、B（-4，2），连接（1）中A2B2，试问在x轴上是否存在点C，使△A1B1C与△A2B2C的周长之和最小？若存在，求出点C的坐标（不必说明周长之和最小的理由）；若不存在，请说明理由．
网友回答
解：（1）如图，A2、B2为所求的点．
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）
依题意与（1）可得A1（-x1，y1），B1（-x2，y2），A2（-x1，-y1），B2（-x2，-y2）
∴A1、B1关于x轴的对称点是A2、B2，
∴x轴垂直平分线段A1A2、B1B2．
（3）存在符合题意的C点．
由（2）知A1与A2，B1与B2均关于x轴对称，
∴连接A2B1交x轴于C，点C为所求的点．
∵A（-2，4），B（-4，2）依题意及（1）得：
B1（4，2），A2（2，-4）．
设直线A2B1的解析式为y=kx+b则有
解得
∴直线A2B1的解析式为y=3x-10，
令y=0，得x=，
∴C的坐标为（，0）
综上所述，点C（，0）能使△A1B1C与△A2B2C的周长之和最小．
解析分析：（1）根据中心对称的方法，找点A2，B2，连接即可．
（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2）依题意与（1）可得A1（-x1，y1），B1（-x2，y2），A2（-x1，-y1），B2（-x2，-y2），得到A1、B1关于x轴的对称点是A2、B2，所以x轴垂直平分线段A1A2、B1B2．
（3）根据A1与A2，B1与B2均关于x轴对称，连接A2B1交x轴于C，点C为所求的点．根据题意得B1（4，2），A2（2，-4）
设直线A2B1的解析式为y=kx+b则利用待定系数法．解得，所以可求直线A2B1的解析式为y=3x-10．令y=0，得x=，所以C的坐标为（，0）．即点C（，0）能使△A1B1C与△A2B2C的周长之和最小．
点评：主要考查了轴对称的作图和性质，以及垂直平分线的性质．要知道对称轴垂直平分对应点的连线．会根据此性质求得对应点利用待定系数法解一次函数的解析式是解题的关键．