求高中以内的所有乘法公式（有名称） 数学
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【答案】 完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2, 平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b2, 立方和(差)公式:(a±b)(a2±ab+b2)=a3±b3.①多项式平方公式:(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd. 即：多项式的平方等于各项的平方和,加上每两项积的2倍. ②二项式定理:(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3, (a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4, (a±b)5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3+5ab4±b5, ………… 注意观察右边展开式的项数,指数,系数,符号的规律. ③由平方差,立方和(差)公式引申的公式 (a+b)(a3-a2b+ab2-b3)=a4-b4, (a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=a5+b5, (a+b)(a5-a4b+a3b2-a2b3+ab4-b5)=a6-b6, ………… 注意观察左边第二个因式的项数,指数,系数,符号的规律. 在正整数指数的条件下,可归纳如下：设n为正整数 ⑴(a+b)(a2n-1-a2n-2b+a2n-3b2-…+ab2n-2-b2n-1)=a2n-b2n, ⑵(a+b)(a2n-a2n-1b+a2n-2b2-…-ab2n-1+b2n)=a2n+1+b2n+1, 类似地： ⑶(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)=an-bn. 公式的变形及其逆运算 由(a+b)2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)2-2ab；(a-b)2=(a+b)2-4ab. 由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b)得 a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b). 由公式的推广可知：当n为正整数时,an-bn能被a-b整除； a2n+1+b2n+1能被a+b整除； a2n-b2n能被a+b及a-b整除. 乙 例题 例1.己知:x+y=a, xy=b . 63 求:①x2+y2 ; ②x3+y3 ; ③x4+y4; ④x5+y5. 解:①x2+y2=(x+y)2-2xy=a2-2b; ②x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)=a3-3ab; ③x4+y4=(x+y)4-4xy(x2+y2)-6x2y2=a4-4a2b+2b2; ④x5+y5=(x+y)(x4-x3y+x2y2-xy3+y4) =(x+y)[x4+y4-xy(x2+y2)+x2y2] =a[a4-4a2b+2b2-b(a2-2b)+b2] =a5-5a3b+5ab2. 例2.求证:四个连续整数的积加上1的和,一定是整数的平方. 证明:设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3. (a为整数) a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1 =(a2+3a)(a2+3a+2)+1 =(a2+3a)2+2(a2+3a)+1 =(a2+3a+1)2. ∵a是整数,整数的和,差,积,幂也是整数. ∴a2+3a+1是整数. 例3.求证:2222+3111能被7整除. 证明:2222+3111=( 22)111+3111=4111+3111. ∵a2n+1+b2n+1能被a+b整除,(见内容提要4) ∴4111+3111能被 4+3整除. ∴2222+3111能被7整除. (扩展) 快速判断一个整数是否可以整除另一个整数 如x=2368,则x1=8,x2=6,x3=3,x4=2 则有如下公式： x%m=( x1 +101%m*x2+102%m*x3+……+10n-1%m*xn)%m 其中%表示求余数的符号 公式证明 依据余数的两个定理 (m+n)%k=(m%k+n%k)%k（结合率） (m*n)%k=((m%k)*n)%k （交换率） 则 x%m = (x1 + x2*10 + x3*102 +xn*10n-1)%m = (x1%m+ x2*10%m+ x3*102%m +xn*10n-1%m)%m = (x1%m+ (10%m*x2)%m + (102%m*x3)%m +(10n-1%m*xn)%m)%m = (x1 + 10%m*x2+ 102%m*x3 +10n-1%m*xn)%m 所以公式得证 例4.用完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律. 解:∵(10a+5)2=100a2+2×10a×5+25=100a(a+1)+25. ∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是： 幂的末两位数字是底数的个位数字5的平方,幂的百位以上的数字是底数的十位上数 字a乘以(a+1)的积. 例如:152=225, 幂的百位上的数字2=1×2； 252=625, 6=2×3； 352=1225, 12=3×4； …… 1052=11025, 110=10×11. 1、平方差公式 由多项式乘法得到 (a＋b)(a－b) ＝a2－b2. 即两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差 2、平方差公式的特征 ①左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数； ②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去相反项的平方)； ③公式中的a和b可以是具体数,也可以是单项式或多项式； ④对于形如两数和与这两数差相乘的形式,就可以运用上述公式来计算． 3、完全平方公式 由多项式乘法得到（a±b）2=a2±2ab＋b2即两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍.推广形式：（a＋b＋c）2=a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca 乘法公式的主要变式 (1)a2－b2＝(a＋b)(a－b); (2)(a＋b)2－(a－b)2＝4ab; （3）(a＋b)2＋(a－b)2=2(a2＋b2)； （4）a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab （5）a3＋b3=(a＋b)3－3ab(a＋b)． 熟悉这些变形公式,明确它们间联系,综合运用,常可简化解题过程． 注意： (1)公式中的a,b既可以表示单项式,也可以表示多项式. (2)乘法公式既可以单独使用,也可以同时使用. (3)这些公式既可以正用,也可以逆用,因此在解题时应灵活地运用公式,以计算简捷为宜.