如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于D，E、F分别为AB、AD上的点，且∠DBF=∠ADE．（1）试找出此时图中成比例中项的线段，并证明你的结论；（2

网友回答

（1）解：CB2=CD?CA．证明如下：
∵AB为直径，
∴∠BDA=90°，
又∵BC切⊙O于B，
∴∠ABC=90°，
∴Rt△CBD∽Rt△CAB，
∴CB：CA=CD：CB，
即CB2=CD?CA；

（2）证明：由（1）得Rt△CBD∽Rt△CAB，
∴CD：BC=BD：AB，即BC?BD=CD?AB①；
∵∠A+∠C=90°，∠CBD+∠C=90°，
∴∠CBD=∠A；
又∵∠BFD=∠ADE+∠A，∠CBF=∠DBF+∠CBD，
而∠ADE=∠DBF，
∴∠BED=∠CBF，
又∵∠A+∠DBA=90°，∠C+∠A=90°，
∴∠DBA=∠C，
∴△BDE∽△CFB，
∴BD：CF=BE：BC，即BC?BD=CF?BE②，
由①②得，CD?AB=CF?BE，
∴=，
∴-1=-1，
∴=，
即AE?DC=DF?EB．
解析分析：（1）根据圆周角定理的推论得∠BDA=90°，根据切线的性质得到∠ABC=90°，易证得Rt△CBD∽Rt△CAB，则CB：CA=CD：CB，即有CB2=CD?CA；
（2）由Rt△CBD∽Rt△CAB得到CD：BC=BD：AB，即BC?BD=CD?AB①；易证∠BED=∠CBF，∠DBA=∠C，则△BDE∽△CFB，根据三角形相似的性质得BD：CF=BE：BC，即BC?BD=CF?BE②，由①②得，CD?AB=CF?BE，即=，利用比例的性质即可得到结论．

点评：本题考查了三角形相似的判定与性质：有两个角对应相等的两三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了圆周角定理的推论以及切线的性质．