如图，已知线段AB上一点O，以OB为半径的⊙O交线段AB于C，以线段AO为直径的半圆交⊙O于点D，过点B作AB的垂线与AD相交于点E，
（1）求证：AE切⊙O于D；
（2）求OD?OE的值；
（3）如果⊙O的半径为r，且OD+OE=3r，求OD、OE的长．
网友回答
解：（1）证明：连接OD
∵AO为半圆直径
∴∠ADO=90°，OD⊥AE，OD为⊙O半径
∴AE切⊙O于D
（2）连接BD
∵BC为直径
∴∠CDB=90°
∵EB⊥AB
∴∠EBA=90°
∴∠CDB=∠EBA
∵EB、ED是⊙O的两切线
∴EB=ED，OE平分∠BED
∴EO⊥BD
∴∠DBC=∠BEO
∴△DCB∽△BOE
∴
∴OD?OE=BC?BO
∴OD?OE=2r?r=2r2
（3）设以OD、OE为根的方程是x2-3rx+2r2=0（2）
∴x1=r，x2=2r
∵OD＜OE
∴OD=r，OE=2r
解析分析：（1）连接OD，证明OD⊥AE即可．
（2）连接BD，证明△DCB∽△BOE，得出OD?OE=BC?BO，得出结果．
（3）由一元二次方程根与系数的关系，可知OD，OE是方程x2-3rx+2r2=0的两根，解方程求出结果．
点评：综合考查了圆与相似三角形的性质和应用，以及解一元二次方程．连接半径是证明切线常用的辅助线的作法．