发布时间：2021-02-19 21:50:32
（本小题满分14分）
如图1，在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，，,现将梯形沿CB、DA折起，使且，得一简单组合体如图2示，已知分别为的中点．
图1 图2
（1）求证：平面；
（2）求证：；
（3）当多长时，平面与平面所成的锐二面角为？
（1）先由中位线定理证，再根据线面平行的判定定理证明即可；
（2）先证，再证，进而证明平面，从而结论可证；
（3）时，平面与平面所成的锐二面角为
【解析】
试题分析：（1）证明：连，∵四边形是矩形，为中点，
∴为中点， ……1分
在中，为中点，故 ……3分
∵平面，平面，平面； ……4分
（其它证法，请参照给分）
（2）依题意知 且
∴平面
∵平面，∴， ……5分
∵为中点，∴
结合，知四边形是平行四边形
∴， ……7分
而，∴ ∴，即 ……8分
又，∴平面，
∵平面，∴. ……9分
（3）解法一：如图，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系
设，则
易知平面的一个法向量为， ……10分
设平面的一个法向量为，则
故，即
令，则，故 ……11分
∴，
依题意，，， ……13分
即时，平面与平面所成的锐二面角为． ……14分
【解法二：过点A作交DE于M点，连结PM，则
∴为二面角A-DE-F的平面角， ……11分
由=600，AP=BF=2得AM， ……12分
又得，解得，
即时，平面与平面所成的锐二面角为． ……14分】
考点：本小题主要考查线面平行、线面垂直的证明和二面角的求解.
点评：立体几何问题，主要是考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解决此类问题时，要紧扣相应的判定定理和性质定理，要将定理中要求的条件一一列举出来，缺一不可，用空间向量解决立体几何问题时，要仔细运算，适当转化.