若AD是△ABC角平分线,I是线段AD上的点,且∠BIC=90°+∠BAC.求证:I是△ABC的内心.

发布时间:2020-08-09 11:32:52

若AD是△ABC角平分线,I是线段AD上的点,且∠BIC=90°+∠BAC.求证:I是△ABC的内心.

网友回答

解:作△ABC的外接圆⊙O,设AD的延长线交⊙O于M,BI的延长线交⊙O于E.
连ME、CE、CM,IC与ME交于点F.
则∠MEC=∠BAC=∠BEC,
因∠BIC=∠ICE+∠IEC,
=∠ICE+∠MEC+∠BAC,
=90°+∠BAC.
则∠ICE+∠MEC=90°,即IC⊥EF.
于是,有△IEF≌△CEF,
从而,IF=FC,即EM是IC的垂直平分线.
故MC=MI,于是,∠MCI=∠MIC.
又∠MCI=∠MAC+∠ACI,
则∠BCI=∠ACI.
即CI平分∠ACB.
因此,I是△ABC的内心.
解析分析:作△ABC的外接圆⊙O,设AD的延长线交⊙O于M,BI的延长线交⊙O于E.连ME、CE、CM,IC与ME交于点F.可得IC⊥EF.△IEF≌△CEF,即EM是IC的垂直平分线.则∠BCI=∠ACI.因此,I是△ABC的内心.

点评:本题考查了三角形的内切圆和全等三角形的判定和性质.
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