如图,在直角坐标系xOy中,点P为函数y=x2在第一象限内的图象上的任一点,点A的坐标为(0,1),直线l过B(0,-1)且与x轴平行,过P作y轴的平行线分别交x轴,l于C,Q,连接AQ交x轴于H,直线PH交y轴于R.
(1)求证:H点为线段AQ的中点;
(2)求证:①四边形APQR为平行四边形;②平行四边形APQR为菱形;
(3)除P点外,直线PH与抛物线y=x2有无其它公共点并说明理由.
网友回答
(1)证明:∵A(0,1),B(0,-1),
∴OA=OB.
又∵BQ∥x轴,
∴HA=HQ;
(2)证明:①由(1)可知AH=QH,∠AHR=∠QHP,
∵AR∥PQ,
∴∠RAH=∠PQH,
∴△RAH≌△PQH.
∴AR=PQ,
又∵AR∥PQ,
∴四边形APQR为平行四边形.
②设P(m,m2),
∵PQ∥y轴,则Q(m,-1),则PQ=1+m2.
过P作PG⊥y轴,垂足为G.
在Rt△APG中,AP=+1=PQ,
∴平行四边形APQR为菱形;
(3)解:设直线PR为y=kx+b,
由OH=CH,得H(,0),P(m,m2).
代入得:,
∴.
∴直线PR为.
设直线PR与抛物线的公共点为(x,x2),代入直线PR关系式得:x2-x+m2=0,(x-m)2=0,
解得x=m.得公共点为(m,m2).
所以直线PH与抛物线y=x2只有一个公共点P.
解析分析:(1)由点的坐标知OA=OB,O为A,B的中点,利用三角形中位线定理可得(1)结论;
(2)要证四边形为平行四边形,由题找到两对边平行且相等,就可以了.在进一步证菱形,验证平行四边形相邻边相等就行了;
(3)判断有无公共点,要联立方程,看方程是否有解,若有解就存在.
点评:此题考查函数性质及三角形中位线定理,判断平行四边形及菱形的判断定理,最后把求公共点的问题,转化为判断方程有无解的问题.