在△ABC中，∠A=75°，∠B=35°，D是边BC上一点，BD=2CD．求证：AD2=（AC+BD）（AC-CD）．

网友回答

证明：延长BC至E，使AC=CE，连接AE，
∵∠BAC=70°，
∴∠CEA=∠CAE=∠ACB=35°=∠ABC，
∴△CAE∽△AEB，
∴AE2=AC?BE，
即AB2=AC（AC+BC）①，
设F是BD的中点，连接AF．
则CD=DF=FB．
在△ACF、△ADB中，由中线的性质分别得
AC2+AF2=2CD2+2AD2，②
AD2+AB2=2DF2+2AF2．③
由式②、③得2AC2+AB2=6CD2+3AD2．④
将式①代入式④得3AC2+AC?BC=6CD2+3AD2．
将BC=3CD代入上式得AC2+AC?CD=2CD2+AD2．
故AD2=AC2+AC?CD-2CD2=（AC+2CD）（AC-CD）=（AC+BD）（AC-CD）．
解析分析：延长BC至E，使AC=CE，连接AE，即可证得△CAE∽△AEB，从而得到AE2=AC?BE，即AB2=AC（AC+BC），然后根据三角形的中线的性质，即可对AC（AC+BC）变形，即可证得．

点评：本题主要考查了相似三角形的性质，以及三角形中线的性质，正确对所求证的式子进行变形是解决本题的关键．