AB为定⊙O的定弦,但不是直径作⊙O的弦CiDi(i=1,2,…1999)使得所有CiDi都被弦AB平分于Mi,过CiDi作⊙O的切线交于Pi,求证:P1,P2,…,

发布时间:2020-08-08 18:14:49

AB为定⊙O的定弦,但不是直径作⊙O的弦CiDi(i=1,2,…1999)使得所有CiDi都被弦AB平分于Mi,过CiDi作⊙O的切线交于Pi,求证:P1,P2,…,P1999共圆.

网友回答

如图,对每个Pi,我们证明:Pi总在△OAB的外接圆上.
连接OCi,ODi,由PiCi,PiDi是切线知:Ci与Di关于OPi对称,
由Mi是CiDi的中点,所以OPi过Mi,
由AB与CiDi相交于Mi,由相交弦定理,得:
AMi?BMi=CiMi?DiMi(1)
又∠OCiPi=∠ODiPi=90°
∴O、Ci、Di、Pi四点共圆.
由相交弦定理,得CiMi?DiMi=OMi?PiMi(2)
由(1)(2)得AMi?BMi=OMi?PiMi,
∴A、O、B、Pi四点共圆.
故每个Pi都在△AOB的外接圆上,因此所有P1,P2,P1999共圆.
解析分析:如图,对每个Pi,我们只要证明Pi总在△OAB的外接圆上即可.连接OCi,ODi,由PiCi,PiDi是切线可以得到Ci与Di关于OPi对称,由Mi是CiDi的中点,所以OPi过Mi,由AB与CiDi相交于Mi,由相交弦定理可以得到AMi?BMi=CiMi?DiMi(1),又∠OCiPi=∠ODiPi=90°,可以得到O、Ci、Di、Pi四点共圆.然后利用同样方法可以证明A、O、B、Pi四点共圆,这样可以证明题目的结论.

点评:此题主要考查了四点共圆的问题,也综合运用了切线长定理、三角形的外心的性质以及证明四点共圆的方法.比较复杂,解题时要细心和耐心.
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