如图，正方形ABCD的边长为1，P为AB上的点，Q为AD上的点，且△APQ的周长为2．求∠PCQ的度数．

网友回答

解：∵正方形ABCD的边长为1，
∴AB+AD=1+1=2，
∵△APQ的周长为2，
∴AP+AQ+PQ=2，
又∵AB=AP+BP，AD=AQ+DQ，
∴DQ+BP=PQ，
将△CBP绕点C顺时针旋转90°得△CDE，
则CE=CP，DE=BP，∠BCP=∠DCE，
∴EQ=DQ+DE=DQ+BP=PQ，
在△CPQ和△CEQ中，，
∴△CPQ≌△CEQ（SSS），
∴∠PCQ=∠ECQ，
又∵∠PCQ+∠ECQ=∠PCQ+∠DCQ+∠DCE=∠PCQ+∠DCQ+∠BCP=∠BCD=90°，
∴∠PCQ=×90°=45°．
解析分析：根据正方形的边长为1，△APQ的周长为2可得DQ+BP=PQ，将△CBP绕点C顺时针旋转90°得△CDE，根据旋转的性质只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小可得CE=CP，DE=BP，然后求出PQ=EQ，利用“边边边”证明△CPQ和△CEQ全等，根据全等三角形对应角相等可得∠PCQ=∠ECQ，从而求出∠PCQ=45°．

点评：本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线构造出全等三角形，然后根据正方形的边长与△APQ的周长求出DQ+BP=PQ，从而求出三角形全等的条件是解题的关键．