相关卷积定理,如何证明频域卷积定理

网友回答

将前面推导出的式（1-103）和式（1-104）重写如下
　　地球物理信息处理基础
　　该公式用语言叙述如下：x（n）与h（n）卷积的自相关函数等于x（n）的自相关函数和h（n）的自相关函数的卷积。或者简单地说，卷积的相关等于相关的卷积。用一般公式表示如下
　　如果
　　e（n）=a（n）*b（n），f（n）=c（n）*d（n） （1-119）
　　那么
　　ref（m）=rac（m）*rbd（n） （1-120）
　　将上面的关系式称为相关卷积定理。该关系式在许多信号处理中是一个有用的公式。
　　［例1-1］假设实平稳白噪声x（n）的方差是 ，均值μx=0，让x（n）通过一个系统（网络），系统的差分方程为
　　y（n）=x（n）+ay（n-1）
　　式中a是实数。求出该系统的输出功率谱和自相关函数。
　　解：先用归纳法求出该系统的输出自相关函数
　　ryy（m）=E［y（n+m）y（n）］
　　取m=0，那么
　　ryy（0）=E［y（n）y（n）］=E［（x（n）+ay（n-1））2］
　　ryy（0）=E［x2（n）］+a2E［y2（n-1）］+2aE［x（n）y（n-1）］
　　式中y（n-1）发生在x（n）之前，它只和x（n-1），x（n-2），…有关，而且x（n）是白噪声，x（n）和x（n-1）x（n-2），…无关，因此，该式中的第三项等于0，那么
　　地球物理信息处理基础
　　当m=1，则
　　ryy（1）=E［y（n+1）y（n）］=E［（ay（n）+x（n+1））y（n）］=aryy（0）
　　当m=2，则
　　ryy（2）=E［y（n+2）y（n）］=E［（ay（n+1）+x（n+2））y（n）］=a2ryy（0）
　　由此可以得出
　　地球物理信息处理基础
　　由给定的系统差分方程，得出该系统函数
　　地球物理信息处理基础
　　则该系统的输出功率谱为
　　地球物理信息处理基础
　　式中a是系统函数的极点，当｜a｜＜l时，系统才能稳定。a越趋于1，即越接近于单位圆，则功率谱峰就越尖锐，频带的带宽越窄，而相关函数衰减e799bee5baa6e79fa5e98193e58685e5aeb931333433616237也就越慢；反之，a趋于0，功率谱下降缓慢，自相关函数衰减则加快。

网友回答

具体回答如知图：
　　函数卷积的傅立叶变换道是函数傅立叶变换的乘积。具体分为时域卷积定理和频域卷积定理，时域卷积定理即时域内的卷积对应频域内的乘积；频域卷积定理即频域内的卷积对应时域内的乘积，两者具有对偶关系。
　　扩展资料：
　　卷积与傅里叶变换有着密切的关系。利用一点性质，即两函数的傅里叶变换的乘积等于它们卷积后的傅里叶变换，能使傅里叶分析中许多问题的处理得到简化。
　　由卷积得到的函数f*g一般要比f和g都光滑。特别当g为具有紧致集的光内滑函数，f为局部可积时，它们的卷积f * g也是光滑函数。利用这一性质，对于任意的可积函数f，都可以简单地构造出一列逼近于f的光滑函数列fs，这种方法称为函容数的光滑化或正则化。
　　参考资料来源：百度百科--卷积定理