如图,在平面直角坐标系中,?OABC的顶点A在y轴的正半轴上,顶点B在x轴的正半轴上,对角线AC、OB交于点D,且OA、OB的长是方程x2-12x+32=0的两根(OA<OB).
(1)求直线AC的函数解析式;
(2)若点P从A点出发,以每秒1个单位的速度沿射线AC运动,连接OP.设△OPD的面积为S,点P的运动时间为t秒,求S与t的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)若点M是直线AC上一点,则在平面上是否存在点N,使以A、B、M、N为顶点四边形为菱形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
网友回答
解:(1)∵OA、OB的长x2-12x+32=0的两根,OA<OB,
∴OA=4,OB=8,点A坐标为(0,4),点B坐标为(8,0),
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴可得点C的横坐标等于点B的横坐标,点C的纵坐标等于点A的纵坐标的相反数,
故点C的坐标为(8,-4),
设直线AC的解析式为:y=kx+b,则,
解得:,
故直线AC的解析式为:y=-x+4;
(2)由(1)可得OB=8,根据平行四边形的性质可得点D坐标为(4,0),
即OA=OD,∠OAD=∠ODA=45°,AD=4,
①当点P在线段AD上时,此时t<4;
过点P作PE⊥OA,PF⊥OB,则可得AP=t,
在RT△AEP中,EP=t,即点P的横坐标为t,
∵点P在直线AC上,
∴点P的纵坐标为:-t+4,
此时S△OPD=OD×P纵坐标=8-t(t<4);
②当点P在射线DC上时,此时t>4
PD=AP-AD=t-4,
在RT△PDM中,PM=DPcos∠DPM=DP×=t-4,
此时S△OPD=OD×P纵坐标=t-8(t>4);
(3)存在符合题意的点N的坐标.
①当AB=AM时,在RT△MAH中,MH=AMcos∠MAH=AMcos∠ADO=2,AH=2,
故点M的坐标为(-2,4+2),
又∵MN平行且相等AB,
设点N坐标为(x,y),则(x+0,y+4)=(-2+8,4+2+0)
∴x=8-2,y=2,
∴点N的坐标为(8-2,2).
②当BM=AB时,
设点M坐标为(x,-x+4),点N坐标为(a,b),
∵四边形ABMN是菱形,点A(0,4),点B(8,0),
∴(x+0,-x+4+4)=(a+8,b+0),
∴a=x-8,b=-x+8,即点N坐标为(x-8,-x+8),
又∵BM=AB=4,
∴=4,
解得:x=12或x=0(与点A重合,舍去),
故此时点N的坐标为(4,-4);
③当AB为对角线时,
设点M坐标为(x,-x+4),则点N坐标为(8-x,x),
∵此时AM=AN,
即可得:=,
解得:x=,
则此时点N的坐标为(,).
综上可得符合题意的点N的坐标为(8-2,2)或(4,-4)或(,);
解析分析:(1)求出OA、OB的长度,从而得出点A及点B的坐标,然后根据平行四边形的性质可得出点C的坐标,继而利用待定系数法可得出直线AC的解析式;
(2)需要分两段进行讨论,①点P在线段AD上,②点P在射线DC上,然后根据设出点P的坐标,根据三角形的面积公式即可得出S与t的函数关系式;
(3)根据菱形四边相等的性质,可分两种情况进行讨论,①AB=AM,②BM=AB,③AM=AN,从而可得出点M的坐标,结合菱形的性质可得出点N的坐标.
点评:此题属于一次函数综合题,涉及了菱形的性质、两点间的距离公式及解直角三角形的知识,难点在第三问,关键是先确定点M的位置,注意分类讨论,不要漏解,难度较大.