【五次】五次函数的图像长什么样子?

网友回答

【答案】 这是一道好题
　　不过一楼并没有回答提问者的问题,二楼是一个例子
　　下面我们来说说五次函数的图像长什么样子
　　设五次函数
　　y=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f
　　则求导,得：y’=5ax^4+4bx^3+3cx^2+2dx+e
　　(1) 如y’=0没有实根
　　则:要么y’>0,y单调递增, 五次函数的图像是一个单调递增的曲线,例如:y=x^5+x
　　要么y’<0,y单调递减, 五次函数的图像是一个单调递减的曲线,例如:y=-x^5-x
　　(2) 如y’=0只有一个实根x1, 则必为重根
　　如为两重根,则:y’=(x-x1)^2*Q(x), 其中Q(x)=0无实根
　　则:要么Q(x)>0,当x不等于x1,y’>0, 五次函数的图像是一个单调递增的曲线(只是在x=x1附近较平坦), 例如:y=x^5+x^3
　　要么Q(x)<0,当x不等于x1,y’>0, 五次函数的图像是一个单调递减的曲线(只是在x=x1附近较平坦), 例如:y=-x^5-x^3
　　如为四重根,则:y’=5a(x-x1)^4
　　如a>0, 当x不等于x1,y’>0, 五次函数的图像是一个单调递增的曲线(只是在x=x1附近较平坦), 例如:y=x^5
　　如a<0, 当x不等于x1,y’>0, 五次函数的图像是一个单调递减的曲线(只是在x=x1附近较平坦), 例如:y=-x^5
　　(3) 如y’=0只有两个不等实根x1,x2  (x2>x1)
　　则:y’=(x-x1)(x-x2)*Q(x), 其中Q(x)=0无实根
　　则:要么Q(x)>0,当x>x2及x<x1,y’>0,y单调递增; 当x1<x<x2,y’<0,y单调递减
　　五次函数的图像是: x从-∞到x1单调递增,在x1达到局部的最大值,再从x1到x2单调递减,在x2达到局部的最小值,再从x2到+∞单调递增.
　　-------------例如:y=(1/5)x^5+(1/4)x^4+(1/3)x^3+(1/2)x^2
　　要么Q(x)<0,当x>x2及x<x1,y’<0,y单调递减; 当x1<x<x2,y’>0,y单调递增
　　五次函数的图像是: x从-∞到x1单调递减,在x1达到局部的最小值,再从x1到x2单调递增,在x2达到局部的最大值,再从x2到+∞单调递减.
　　-------------例如:y=-(1/5)x^5-(1/4)x^4-(1/3)x^3-(1/2)x^2
　　(4) 如y’=0有两个不等实根x1,x2  (x2>x1),且它们都是两重根
　　则:y’=5a(x-x1)^2*(x-x2)^2
　　如a>0, 当x不等于x1,x2, y’>0, 五次函数的图像是一个单调递增的曲线(只是在x=x1及x=x2附近较平坦), 例如:y=(1/5)x^5+(1/2)x^4+(1/3)x^3
　　如a<0, 当x不等于x1,x2, y’<0, 五次函数的图像是一个单调递减的曲线(只是在x=x1及x=x2附近较平坦), 例如:y=-(1/5)x^5-(1/2)x^4-(1/3)x^3
　　(5)如y’=0有三个不等实根x1,x2,x3  (x2>x1),且x3是两重根
　　则:y’=5a(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)^2
　　如a>0, 当x不等于x3, x>x2及x<x1,y’>0,y单调递增; 当x1<x<x2,y’<0,y单调递减
　　五次函数的图像是: x从-∞到x1单调递增,在x1达到局部的最大值,再从x1到x2单调递减,在x2达到局部的最小值,再从x2到+∞单调递增. (只是在x=x3附近较平坦),
　　如a<0, 当x不等于x3, x>x2及x<x1,y’<0,y单调递减; 当x1<x<x2,y’>0,y单调递增
　　五次函数的图像是: x从-∞到x1单调递减,在x1达到局部的最小值,再从x1到x2单调递增,在x2达到局部的最大值,再从x2到+∞单调递减. (只是在x=x3附近较平坦),
　　(6) 如y’=0只有两个不等实根x1,x2  (x2>x1),其中一个,比如x2是三重根,讨论方法与(3)中的类似,可以把(x-x2)^2看成是Q(x)
　　(7) 如y’=0有四个不等实根x1,x2,x3,x4  (x4>x3>x2>x1)
　　则:y’=5a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(x-x4)
　　如a>0, 当x<x1,及x>x4,x2<x<x3,则:y’>0, y单调递增;
　　当x1<x<x2, 及x3<x<x4则:y’<0, y单调递减
　　五次函数的图像是: x从-∞到x1单调递增,在x1达到局部的最大值,再从x1到x2单调递减,在x2达到局部的最小值,再从x2到x3单调递增, 在x3达到局部的最大值, 再从x3到x4单调递减, 在x4达到局部的最小值, 再从x4到+∞单调递增. 
　　如a<0, 当x<x1,及x>x4,x2<x<x3,则:y’<0, y单调递减;
　　当x1<x<x2, 及x3<x<x4则:y’>0, y单调递增
　　五次函数的图像是: x从-∞到x1单调递减,在x1达到局部的最小值,再从x1到x2单调递增,在x2达到局部的最大值,再从x2到x3单调递减, 在x3达到局部的最小值, 再从x3到x4单调递增, 在x4达到局部的最大值, 再从x4到+∞单调递减.