如图,抛物线y=ax2+bx+4与y轴交于点A,与x轴交于点D(2,0)、B(8,0).直角梯形AOBC在平面直角坐标系中,AC∥OB,点C在抛物线对称轴上,连接CD

发布时间:2020-08-08 17:30:51

如图,抛物线y=ax2+bx+4与y轴交于点A,与x轴交于点D(2,0)、B(8,0).直角梯形AOBC在平面直角坐标系中,AC∥OB,点C在抛物线对称轴上,连接CD.现有两个动点P、Q分别从点A和点O同时出发,其中点P以每秒1个单位的速度,沿AO向终点O运动;点Q以每秒2个单位的速度沿OB向终点B运动.过点P作PE∥AC交CD于点E.设P、Q两点运动时间为t(秒).
(1)求这条抛物线的解析式.
(2)求CD的长,并用含有t的代数式表示DE的长.
(3)若点N在x轴下方的抛物线上,当t为何值时,四边形APNQ为平行四边形.
(4)当△EDQ为直角三角形时,请直接写出t的值.

网友回答

解:(1)∵点D(2,0)和B(8,0)在抛物线上,

解得
∴这条抛物线的解析式为.
(2)作CM⊥DB于点M.由题意得,CM=OA=4,DM=5-2=3.
∴在Rt△CMD中,.
作EF⊥DB于点F,则△CMD∽△EFD.,
∴.
(3)若四边形APNQ为平行四边形,则AP=QN.
∴,
解得t1=t2=2.
∴当t=2时,四边形APNQ为平行四边形.
(4)当∠EQD=90°时,Q与F点重合,
∵△CDM∽△EDF,则=,即=,则EF=4-t,
根据勾股定理得:(5-t)2=(4-t)2+(2t-2)2,解得:t=;
当∠DEQ=90°时,△DEQ∽△DMC,则=,则=,
解得:EQ=,
在直角△EQD中,利用勾股定理可得:(5-t)2+()2=(2t-2)2,解得:t=.
故t=或t=.
解析分析:(1)利用待定系数法即可求得抛物线的解析式;
(2)作CM⊥DB于点M,在直角△CND中,利用勾股定理即可求得CD的长;作EF⊥DB于点F,则△CMD∽△EFD,利用相似三角形的对应边的比相等即可求得DE的长;
(3)若四边形APNQ为平行四边形,则AP=QN,据此即可得到一个关于t的方程求得t的值;
(4)△EDQ为直角三角形应分两种情况进行讨论:当∠EQD时直角,和∠DEQ是直角两种情况进行讨论,利用勾股定理即可得到关于t的方程,解得t的值.

点评:本题考查了二次函数的性质,以及相似三角新的判定与性质,勾股定理,在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.
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