发布时间：2021-02-20 11:50:10
（12分）已知圆的方程为,椭圆的方程，且离心率为，如果与相交于两点，且线段恰为圆的直径.
（Ⅰ）求直线的方程和椭圆的方程；
（Ⅱ）如果椭圆的左、右焦点分别是,椭圆上是否存在点,使得,如果存在，请求点的坐标，如果不存在，请说明理由.
（Ⅰ），；
（Ⅱ）存在P点坐标为，
【解析】(Ⅰ) 解法一：若直线斜率不存在，则直线的方程为，由椭圆的对称性可知，，两点关于轴对称，A,B的中点为（4，0），又线段AB恰为圆的直径，则圆心为（4，0），这与已知圆心为（4，1）矛盾，因此直线斜率存在，…………1分
所以可设AB直线方程为，且设A(x1,y1)、B(x2,y2), 设椭圆方程,…………………2分
将AB直线方程为代入到椭圆方程得，即（1），………………………………4分
，解得，故直线AB的方程为,…………6分
将代入方程（1）得5x2－40x+100－4b2=0. ，
，得. …………………………………7分=，得，解得b2=9..
故所求椭圆方程为. ………………………………………………8分
解法二： 设椭圆方程,…………1分
又设A(x1,y1)、B(x2,y2),则,
又,两式相减，得，……3分
即(x1+x2)(x1－x2)+4(y1+y2)(y1－y2)=0，.
若，直线的方程为，由椭圆的对称性可知，，两点关于轴对称，A,B的中点为（4，0），又线段AB恰为圆的直径，则圆心为（4，0），这与已知圆心为（4，1）矛盾，所以.
因此直线斜率存在,且 =－1,故直线AB的方程为, ……5分
代入椭圆方程，得5x2－40x+100－4b2=0 . ………………………………6分
，，得.……………………7分
|AB|=,
得，解得b2=9.故所求椭圆方程为. ……8分
(Ⅱ)因为的中点是原点,
所以,所以与共线， …………………10分，
而直线AB的方程为y=－x+5,所以直线所在的直线方程为y=－x.
，或.
所以P点坐标为，. …………………12分