如图，在直角坐标系xOy中，点A的坐标为（12，-8），点B、C在x轴上，tan∠ABC=，AB=AC，AH⊥BC于H，D为AC边上一点，BD交AH于点M，且△ADM

网友回答

解：（1）∵S△ADM=S△BHM，∴S△ACH=S△BCD，
∵AB=AC，AH⊥BC，∴H是BC中点，∴D是AC中点．
∵AH=8，tan∠ABC=，∴BH=CH=6，
∵A的坐标为（12，-8），∴B、C坐标分别为（18，0）、（6，0）．
∴D的坐标为（9，-4）．

（2）设经过B、C、D三点的抛物线的解析式为y=a（x-6）（x-18），
∵抛物线过D点，∴-4=a（9-6）（9-18），∴a=．
∴抛物线的解析式为y=（x-6）（x-18），顶点E的坐标为（12，-）．

（3）设直线l的解析式为y=x+b，∵直线过点E，∴b=-，
∴G的坐标为（0，-）．
∴设平移后的抛物线的解析式为y=（x-m）2+m-
∴F的坐标为（0，m2+m-），E′的坐标为（m，m-），
若E′G=E′F，则m2+m-+=2×m，
∴m=0（舍去），m=9，此时E′的坐标为（9，-）．
若E′G=GF，则m=m2+m-+
∴m=0（舍去），m=，此时E′的坐标为（，-）．
若E′F=GF，不存在．
综上所述E′点的坐标为（9，-）或（，-）．

解析分析：（1）要求点D的坐标，可以先确定点D的位置，由△ADM、△BHM的面积相等，它们加上一个公共三角形△AMB后，可得出△ADB、△AHB的面积相等，显然D、H两点到直线AB的距离相等，即DH∥AB，而H是BC的中点，那么点D应该是AC的中点，所以只要求出点C的坐标即可确定点D的坐标．首先由点A坐标能得到AH的长，在Rt△AHB中，已知AH的长以及∠ABH的正切值，通过解直角三角形即可求出BH的长，根据等腰三角形的性质易知BH=HC，在得出OH（点A横坐标的绝对值）、CH的长后，即可确定点C的坐标，由此得解．（2）利用待定系数法能求出抛物线的解析式，由配方法或公式法能求出顶点E的坐标．（3）首先表达出平移后的函数解析式，能得到点E′、G的坐标；再由直线l与AB平行，求出直线l的解析式（两条直线平行，则它们的斜率相同），能得到点F的坐标；若△E′FG为等腰三角形，需要考虑到三种情况：①E′F=E′G；此时E′在线段FG的中垂线上，那么点E′纵坐标应该是点F、G两点纵坐标和的一半，据此求解；②E′G=FG；FG可由两点纵坐标差的绝对值求得，而E′G可由点E横坐标以及∠OGB的正弦值求得，列出等式后即可确定点E′的坐标；③E′F=FG；这种情况下，点F必在E′下方，显然这种情况不符合抛物线图象的特点，因此这种情况不予考虑．

点评：此题主要考查了等腰三角形的性质、图形面积的解法、函数解析式的确定以及等腰三角形的判定和性质等重要知识；最后一题中，在等腰三角形的腰和底不确定的情况下，要分类讨论．