如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，P是△OAC的重心，且OP=，∠A=30度．（1）求劣弧的长；（2）若∠ABD=120°，BD=1，求证：CD是⊙O的切线．

网友回答

（1）解：延长OP交AC于E，
∵P是△OAC的重心，OP=，
∴OE=1，
且E是AC的中点．
∵OA=OC，∴OE⊥AC．
在Rt△OAE中，∵∠A=30°，OE=1，
∴OA=2．
∴∠AOE=60度．
∴∠AOC=120度．
∴=π；

（2）证明：连接BC．
∵E、O分别是线段AC、AB的中点，
∴BC∥OE，且BC=2OE=2=OB=OC．
∴△OBC是等边三角形．
法1：∠OBC=60度．
∵∠OBD=120°，∴∠CBD=60°=∠AOE．
∵BD=1=OE，BC=OA，
∴△OAE≌△BCD．
∴∠BCD=30度．
∵∠OCB=60°，
∴∠OCD=90度．
∴CD是⊙O的切线．

法2：过B作BF∥DC交CO于F．
∵∠BOC=60°，∠ABD=120°，
∴OC∥BD．
∴四边形BDCF是平行四边形．
∴CF=BD=1．
∵OC=2，
∴F是OC的中点．
∴BF⊥OC．
∴CD⊥OC．
∴CD是⊙O的切线．
解析分析：（1）要求劣弧的长，只需求出∠AOC的度数即可，根据∠A=30°结合圆周角定理，易得∠AOC=120°，故可求得