如图,AB为⊙O的直径,D为弧BC的中点,弦DE⊥AB于F,延长CD交AB的延长线于G,且BG=DE,则以下结论:①BG=BC;②F为AG的中点,其中正确的结论是A.

发布时间:2020-08-05 16:27:40

如图,AB为⊙O的直径,D为弧BC的中点,弦DE⊥AB于F,延长CD交AB的延长线于G,且BG=DE,则以下结论:①BG=BC;②F为AG的中点,其中正确的结论是A.①②都正确B.①②都错误C.只有①正确D.只有②正确

网友回答

A
解析分析:两选项都正确,理由为:由DE垂直于AB,利用垂径定理得到B为弧ED的中点,得到弧BD与弧BE相等,再由D为弧BC的中点,得到弧CD与弧BD相等,等量代换得到弧BC与弧DE相等,等弧对等弦,得到BC=DE,而DE=BG,等量代换得到BG=BC;由BG=BC,等边对等角得到一对角相等,再由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等,等量代换再利用等角对等边得到DA=DG,由DF垂直于AG,利用三线合一得到F为AG的中点.

解答:∵DE⊥AB,
∴B为弧DE的中点,即=,
∵D为弧BC的中点,∴=,
∴=,
∴BC=DE,又BG=DE,
∴BC=BG,故选项①正确;
连接AD,如图所示:

∵∠A与∠BCD都对弧BD,
∴∠A=∠BCD,
又BC=BG,∴∠G=∠BCD,
∴∠A=∠BCD,
∴DA=DG,又DF⊥AG,
则F为AG的中点,故选项②正确,
故选A

点评:此题考查了垂径定理,圆周角定理,以及等腰三角形的判定与性质,熟练掌握垂径定理是解本题的关键.
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