麻烦您帮我解答一道证明题,设V是n维欧几里得空间,内积记为(α,β),设T是V上的一个正交变换,记V1={α|Tα=α},V2={β|β=α-Tα,α∈V},证明：①V1,V2都是V的子空间；②V=V1⊕V2.
网友回答
1,V1=Ker(T-ι),V2=Im(T-ι),(ι是单位变换）
当然都是V的子空间,直接证也不难.
2、若a即属于V1又属于V2,那么
a=α-Tα,a=Ta
(a,a)=(α-Tα,α-Tα)=(α,α)+(Tα,Tα)+-(α,Tα)-(Tα,α)=0
故a=0,也就是V1交V2={0}
dimV1+dimV2=dimker(T-ι)+dimIm(T-ι)=n
V=V1⊕V2