如图，已知：PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B，C，PD⊥AB于D，延长PD交AO的延长线于E，连接CE并延长，交⊙O于F，连接AF．（1）求证：PD?PE=PB?

网友回答

（1）证明：∵PA切⊙O于点A，∴AO⊥PA．∵PD⊥AB，∴=cos∠APE=．
∴PA2=PD×PE…①∵PBC是⊙O的割线，PA为⊙O切线，∴PA2=PB×PC…②联立①②，得PD?PE=PB?PC；

（2）证明：∵PD?PE=PB?PC（已证），∴，
∵∠BPD为公共角，∴△BDP∽△EPC，∴∠PBD=∠PEC，∵四边形ABCF内接圆，∴∠ABP=∠AFC，∴∠AFC=∠PEC，∴PE∥AP；
（3）解：∵AP是⊙O的切线，∴∠PAB=∠PCA，∵∠APB=∠CPA，∴△PAB∽△PCA，∴=…①，∵∠PAE=∠ADP=90°，∴∠APD+∠PAD=90°，∠APD+∠AEP=90°，∴∠PAB=∠AEP=∠FAE，∵∠ABP=∠F，∴△AEF∽△APB，∴=，即=…②联立①②，有=，∴EF=AE×=×2=．
解析分析：（1）欲证PD?PE=PB?PC，在此题所给的已知条件中，∠APE的余弦值在△APD和△APE中，有两种表示方法，从而得出一个等积式，根据切割线定理，再得到一个等积式，从而借助于PA2得到PD?PE=PB?PC；
（2）可证△PBD∽△PEC，再根据相似三角形的性质和圆内接四边形的性质得到∠PEC=∠AFC，根据平行线的判定即可得出结论；
（3）分别证明△PAB∽△PCA，△AEF∽△APB，得出两个比例式，联立有=，再代值即可求出EF的长．

点评：此题考查了三角函数、切割线定理，以及相似的判定和性质，比较全面，有一定的难度．