已知函数f（x）=，x∈[1，+∞）（I）当m=时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数m的取值范围．

网友回答

解：（Ⅰ）当时，．
设1≤x1＜x2，有．
即f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在[1，+∞）上为增函数．
所以，f（x）在[1，+∞）上的最小值为．
（Ⅱ）在区间[1，+∞）上，恒成立，等价于x2+4x+m＞0恒成立．
设y=x2+4x+m，x∈[1，+∞），
由y=x2+4x+m=（x+2）2+a-4在[1，+∞）上递增，则当x=1时，ymin=5+m．
于是，当且仅当ymin=5+m＞0时，f（x）＞0恒成立．
此时实数m的取值范围为（-5，+∞）．

解析分析：（I）当m=时，f（x）在[1，+∞）上为增函数，将1代入可得函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）在区间[1，+∞）上，恒成立，等价于x2+4x+m＞0恒成立，结合二次函数的图象和性质将问题转化为最值问题后，可得实数m的取值范围


点评：本题考查的知识点是函数的单调性，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问题的关键．