已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）当m为何整数时，原方程的根也是整数．

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（1）证明：∵△=（m+3）2﹣4（m+1）
 =（m+1）2+4
 ∴无论m取何值，（m+1）2+4恒大于0
 ∴原方程总有两个不相等的实数根
 （2）∵x1，x2是原方程的两根
 ∴x1+x2=﹣（m+3），x1x2=m+1
 ∵|x1﹣x2|=2
 ∴（x1﹣x2）2=（2）2
 ∴（x1+x2）2﹣4x1x2=8
 ∴[﹣（m+3）]2﹣4（m+1）=8
 ∴m2+2m﹣3=0
 解得：m1=﹣3，m2=1
 当m=﹣3时，原方程化为：x2﹣2=0
 解得：x1=，x2=﹣…11分
 当m=1时，原方程化为：x2+4x+2=0
 解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣

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（1）证明：△=（m+3）2-4（m+1）=m2+6m+9-4m-4=m2+2m+5=（m+1）2+4，
∵（m+1）2≥0，
∴（m+1）2+4＞0，
则无论m取何实数时，原方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0，
利用公式法解得：x=，
要使原方程的根是整数，必须使得（m+1）2+4是完全平方数，
设（m+1）2+4=a2，变形得：（a+m+1）（a-m-1）=4，
∵a+m+1和a-m-1的奇偶性相同，
可得或，
解得：或，
将m=-1代入x=，得x1=-2，x2=0符合题意，
∴当m=-1时，原方程的根是整数．
解析分析：（1）表示出根的判别式，配方后得到根的判别式大于0，进而确定出方程总有两个不相等的实数根；
（2）由（1）得到方程有两个不相等的实数根，利用求根公式表示出解，要使原方程的根是整数，必须使得（m+1）2+4是完全平方数，设（m+1）2+4=a2，变形得：（a+m+1）（a-m-1）=4，由a+m+1和a-m-1的奇偶性相同，列出方程组，求出方程组的解得到a与m的值，代入解中检验即可得到满足题意m的值．

点评：此题考查了根的判别式，以及求根公式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．