如图1，⊙O1和⊙O2内切于点P，⊙O2的弦BE与⊙O1相切于C，PB交⊙O1于D，PC的延长线交⊙O2于A，连接AB，CD，PE．（1）求证：①∠BPA=∠EPA；

网友回答

证明：（1）①过点P作两圆公切线MN．
则∠MPB=∠PCD=∠A．
∴CD∥AB．
∴∠ABC=∠BCD．
∵BC是⊙O1的切线，
∴∠BCD=∠BPA．
∵∠ABC=∠EPA，
∴∠BPA=∠EPA．
②∵∠ABC=∠BPA，∠A=∠A，
∴△ABC∽△APB．
∴，
∴．
∵CD∥AB，
∴．
即．

（2）连接O1C，PO1．
则PO2经过点O1，且O1C=r，O1O2=R-r．
∵BE与⊙O1相切，
∴O1C⊥BE．
在Rt△CO1O2中，
CO2==，
∴BC=BO2+CO2=R+．
EC=EO2-CO2=R-．
∵PC?AC=EC?BC=2Rr．
∴PC?AC是定值．
解析分析：（1）①过点P作两圆公切线MN．根据弦切角定理，发现平行线CD∥AB．再结合平行线的性质和弦切角定理进一步证明∠ABC=∠BCD=∠BPA，根据圆周角定理的推论得到∠ABC=∠EPA，从而证明结论；
②首先根据两个角对应相等证明△ABC∽△APB，得到；再根据CD∥AB，得到，从而再根据比例的性质进行变形即可证明结论；
（2）连接O1C，PO2．根据相交弦定理，得PC?AC=EC?BC，只需求得EC、BC的长．则关键是求得CO2的长，根据切线的性质发现Rt△CO1O2，根据两圆内切，则圆心距等于两圆的半径之差，从而根据勾股定理求得CO2的长，此题则迎刃而解．

点评：熟悉相切两圆的性质：两圆内切，则圆心距等于两圆半径之差；两圆外切，则圆心距等于两圆半径之和；两圆相切，切点一定在连心线上．
两圆内切时，作两圆的外公切线是常见的辅助线之一．利用弦切角定理可以把两个圆中的有关角联系起来．
掌握圆中的重要定理：圆周角定理及其推论、弦切角定理、相交弦定理、切线的性质定理．