已知函数f（x）=lg，（Ⅰ）若f（x）为奇函数，求a的值；（Ⅱ）若f（x）在（-1，5]内有意义，求a的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断并证明f（x）的单调性

网友回答

解：（Ⅰ）∵f（x）为奇函数，∴f（x）+f（-x）=0，即，∴，∴a=1．
（Ⅱ）∵若f（x）在（-1，5]内恒有意义，则在（-1，5]上恒成立，再由x+1＞0，
∴a-x＞0，∴a＞x在（-1，5]上恒成立，∴a＞5．
（Ⅲ）当a＞5时，f（x）在定义域上为减函数，…
由，得f（x）定义域为（-1，a）．
令-1＜x1＜x2＜a，由于==，
∵-1＜x1＜x2＜a，∴a-x1＞a-x2＞0，1+x2＞1+x1＞0，∴，
∴，∴，∴f（x1）-f（x2）＞0，
即f（x1）＞f（x2），∴f（x1）在（-1，a）为减函数．
解析分析：（Ⅰ）由f（x）为奇函数 可得f（x）+f（-x）=0，即，即，由此可得a的值．
（Ⅱ）由题意可得f（x）在（-1，5]上恒成立，再由x+1＞0，可得a-x＞0，故a＞x在（-1，5]上恒成立，由此可得a的范围．
（Ⅲ）当a＞5时，f（x）在定义域上为减函数，求得f（x）定义域为（-1，a）． 令-1＜x1＜x2＜a，由于==，可得f（x1）＞f（x2），从而得出结论．


点评：本题主要考查奇函数的定义和性质，对数函数的图象和性质应用，函数的恒成立问题，属于中档题．