发布时间：2021-02-19 21:54:23
本小题满分14分）
如图，在直三棱柱中，，，，点、分别是、的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）证明：平面平面；
（Ⅲ）求多面体A1B1C1BD的体积V.
（Ⅰ）证明：见解析（Ⅱ）证明：见解析；
（Ⅲ）V=。
【解析】
试题分析：(I)根据线面平行的判定定理只需证明：AE//平面BC1D即可.
(II)因为,所以,然后再利用勾股定理证明,
从而可证明：,再根据面面垂直的判定定理得平面平面.
(III) 取A1B1中点F，易证：C1F⊥面A1B1BD,从而得到所求四棱锥的高，然后再根据棱锥的体积计算公式计算即可.
（Ⅰ）证明：在矩形中，
由
得是平行四边形.…………………1分
所以， …………………2分
又平面，平面，
所以平面…………………4分
（Ⅱ）证明：直三棱柱中，，，，所以平面，…………………6分
而平面，所以.…………………7分
在矩形中，，从而，
所以， …………………8分
又，所以平面， …………………9分
而平面，所以平面平面 …………………10分
（Ⅲ）取A1B1中点F，由A1C1=B1C1知C1F⊥A1B1，……………11分
又直三棱柱中侧面ABA1B1⊥底面A1B1C1且交线为A1B1，故C1F⊥面A1B1BD，……12分
∴V=…………………14分
考点：线线，线面，面面平行与垂直的判定与性质，棱锥的体积.
点评：掌握线线、线面，面面垂直的判定与性质定理是解决此类证明的关键，并且还要记住柱，锥，台体的体积及表面积公式.