如图，四边形ABCD中，AC⊥AB．∠ADB=∠ACB，过点A作AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F．（1）求证：AB2=BF?BD；（2）求证：∠BDC=90°．

网友回答

解：（1）∵AC⊥AB，AE⊥BC，
∴∠BAE+∠EAC=90°，∠ACB+∠EAC=90°，
∴∠BAE=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠BAF=∠ADB，
∵∠ABF=∠DBA，
∴△ABF∽△DBA，
∴AB2=BF?BD；

（2）∵AC⊥AB，AE⊥BC，
∴AB2=BE?BC，
又∵AB2=BF?BD，
∴BF?BD=BE?BC，
即，
又∵∠EBF=∠CBD，
∴△BEF∽△BDC，
∵∠BEF=90°，
∴∠BDC=90°．
解析分析：（1）由于AC⊥AB，AE⊥BC，易得∠BAE+∠EAC=90°，∠ACB+∠EAC=90°，利用同角的余角相等可得∠BAE=∠ACB，而
∠ADB=∠ACB，等量代换有∠BAF=∠ADB，结合∠ABF=∠DBA，可证△ABF∽△DBA，从而得AB2=BF?BD；
（2）由于AC⊥AB，AE⊥BC，易得AB2=BE?BC，由（1）知AB2=BF?BD，那么BF?BD=BE?BC，即，结合公共角
∠EBF=∠CBD，从而可证△BEF∽△BDC，又知∠BEF=90°，从而有∠BDC=90°．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、射影定理．解题的关键是能根据AC⊥AB，AE⊥BC，直接得出AB2=BE?BC．