如图：△PQR是等边三角形，∠APB=120°（1）求证：QR2=AQ?RB；（2）若AP=，AQ=2，PB=．求RQ的长和△PRB的面积．

网友回答

（1）证明：∵△PQR是等边三角形，
∴QR=PQ=PR，∠PQR=∠PRQ=∠QPR=60°，
∴∠AQP=∠PRB=120°，
∴∠A+∠APQ=60°，
又∵∠APB=120°，
∴∠A+∠B=60°，
∴∠APQ=∠B，
∴△AQP∽△PRB，
∴=，QR=PQ=PR，
∴QR2=AQ?RB．

（2）解：∵△PAQ∽△BPR
∴PA：BP=AQ：PR
即2：=2：PR
∴PR=，
在等边△PQR中，PQ=RQ=PR=底边RQ的高为=
∴PQ：BR=AQ：PR，即：BR=2：，BR=1，
∵△PRB的高为等边△PQR的高
∴△PRB的面积为×1×=．
解析分析：（1）利用等边三角形性质，进一步证得△AQP∽△PRB，再由三角形相似的性质解答即可．
（2）利用证得的△PAQ∽△BPR，就可得：PA：BP=AQ：PR，则可算出PR、BR的长，在等边△PQR中，PR=RQ，可求出它的高，也就是△PRB的高，由此面积也可求．

点评：此题主要考查等边三角形的性质，三角形相似的判定与性质以及等量代换的渗透，解题的关键是相似三角形的判定与性质的应用．