在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为射线BC上一动点，以AD为边作正方形ADEF，连接CF．（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：BC⊥CF；（2）

网友回答

（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
在正方形ADEF中，∠DAF=90°，AD=AF，
∵∠BAD+∠CAD=∠BAC=90°，
∠CAF+∠CAD=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，
∴BC⊥CF；

（2）∵∠BAD-∠CAD=∠BAC=90°，
∠CAF-∠CAD=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
同（1）可得△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，
∴BC+CD=CF；

（3）如图，过点A作AG⊥BC于G，
∵∠BAC=90°，AB=AC，BC=2，
∴AG=BG=BC=×2=1，
设BD=x，则DG=|x-1|，
在Rt△ADG中，AD===，
由（1）得，△ABD≌△ACF，
∴S△APC=S△ACF-S△APF=S△ABD-S△APF，
=x?1-AF?AD，
=x-AD2，
=x-（x2-2x+2），
=-（x2-3x+2），
=-（x-）2+，
∵-＜0，
∴当x=时，S有最大值，
即BD=时，△ACP的面积有最大值为．
解析分析：（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，根据正方形的性质可得∠DAF=90°，AD=AF，根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△ABD和△ACF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD=45°，然后求出∠BCF=90°，从而得证；
（2）同（1）求出△ABD和△ACF全等，然后根据全等三角形对应边相等可得BD=CF，从而得到BC+CD=CF；
（3）过点A作AG⊥BC于G，根据等腰直角三角形的性质求出AG、BG，设BD=x，表示出DG，再利用勾股定理列式表示出AD，然后根据S△APC=S△ACF-S△APF列式整理，再根据二次函数的最值问题解答．

点评：本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及二次函数的最值问题，正方形的问题，往往都是通过作辅助线构造出全等三角形求解，要熟练掌握并灵活运用，（3）表示出△APC的面积是难点，也是解题的关键．