【本原多项式】F2上5次本原多项式是哪六个?

网友回答

【答案】 GF(32)是GF(2)的5次扩张,乘法群是31阶循环群.
　　31是质数,故乘法群中除1以外都是乘法群生成元,即原根.
　　它们在GF(2)上的极小多项式就是GF(2)上的5次本原多项式.
　　每个5次本原多项式有5个互为共轭的根,因此共有6个5次本原多项式.
　　实际上,GF(2)上的5次不可约多项式都是本原多项式.
　　设f(x)是GF(2)上的5次不可约多项式,则f(x)的根都包含于GF(2)的5次扩张,即在GF(32)中.
　　又f(x)不可约,故0,1不是f(x)的根,f(x)的根都是GF(32)中的原根.
　　此外f(x)的首项系数只能为1,因此f(x)是GF(2)上的5次本原多项式.
　　于是,我们只需找GF(2)上的5次不可约多项式.
　　不难确定GF(2)上的1次不可约多项式只有:x,x+1;
　　2次不可约多项式只有x^2+x+1 (GF(2)上的2次多项式不可约当且仅当0,1都不是根);
　　3次不可约多项式只有x^3+x+1,x^3+x^2+1 (GF(2)上的2次多项式不可约当且仅当0,1都不是根).
　　5次多项式f(x)不被x整除当且仅当其常数项非零.
　　可设f(x) = x^5+ax^4+bx^3+cx^2+dx+1,其中a,b,c,d为0或1.
　　f(x)被x+1整除当且仅当f(1) = 0,即a+b+c+d = 0.
　　因此当且仅当a,b,c,d中1的个数为1或3时,f(x)没有1次因子.
　　此时f(x)若可约,只能为2次不可约多项式与3次不可约多项式的乘积,即:
　　f(x) = (x^2+x+1)(x^3+x+1) = x^5+x^4+1或f(x) = (x^2+x+1)(x^3+x^2+1) = x^5+x+1.
　　除了上述2个多项式之外,其它没有1次因子的5次多项式都是不可约的:
　　x^5+x^2+1,x^5+x^3+1,x^5+x^3+x^2+x+1,x^5+x^4+x^2+x+1,x^5+x^4+x^3+x+1,x^5+x^4+x^3+x^2+1.
　　这6个多项式即GF(2)上的全体5次不可约多项式,也即全体5次本原多项式.