本人已经尝试过几种换元,如把x换成tant,x+1/x整体换元等,均未果,望给出过程,

网友回答

利用对称性先分成两份=∫[-∞,0](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx
+∫[0,∞](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx
第一个用y=-x替换,dx=-dy,上下限加负号
=∫[∞,0](-y-1/y)/[(-y-1/y)^2+2] (-dy)
+∫[0,∞](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx
=∫[∞,0](y+1/y)/[(y+1/y)^2+2] dy
+∫[0,∞](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx
第一个积分用x替代y
=∫[∞,0](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx
+∫[0,∞](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx
=-∫[0,∞](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx (交换上下限,变符号)
+∫[0,∞](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx
=0======以下答案可供参考======
供参考答案1:
明天来供参考答案2:
令被积函数f(x)=(x+1/x)/[(x+1/x)^2+2]
f(-x)=-(x+1/x)/[(x+1/x)^2+2]=-f(x)
所以f(x)是奇函数
因为积分区间为(-∞,+∞)，根据原点对称
所以原式=0
供参考答案3:
被积函数 f(x)=x^3+x/(x^2+1)^2+2x^2 当|x|很大时 f(x)~1/x
因此上述广义积分不存在，但应其为奇函数，所以它的柯西主值为0