如图，AB是⊙O的直径，CB=CD，AC与BD相交于F，CF=2，FA=4．（1）求证：△BCF∽△ACB．（2）求BC的长．（3）延长AB至E，使BE=BO，连接E

网友回答

（1）证明：∵CB=CD，
∴∠D=∠CBD，
∵∠A=∠D，
∴∠A=∠CBD，
又∵∠ACB=∠BCF，
∴△BCF∽△ACB．

（2）解：∵△BCF∽△ACB，
∴，
又∵CF=2，FA=4，
∴，
∴BC1=2或BC2=（舍去），
∴BC=2，

（3）解：EC与⊙O相切．
证明：连接OC，
∵CB=CD，
∴，
∴OC⊥BD，
又∵BE=BO，AB是⊙O的直径，
∴OB=OA=BE，
∴，
∵CF=2，FA=4，
∴，
∴，
∴BF∥EC，
∴OC⊥EC，
故EC与⊙O相切．
解析分析：（1）由题意可知，∠D=∠CBD，∠A=∠D，通过等量代换推出∠A=∠CBD，即可推出结论，（2）由（1）所推出的结论，推出，结合已知条件，即可推出BC的长度，（3）连接OC，根据垂径定理，即可推出OC⊥BD，然后通过求证，推出BF∥EC，即得，OC⊥EC，即可推出结论．

点评：本题主要考查圆周角定理、切线的性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理等知识点，关键在于（1）运用圆周角定理推出∠A=∠CBD，（2）熟练运用相似三角形的性质推出对应边成比例的比例式，（3）根据垂径定理，推出OC⊥BD，求证BF∥EC．