如图，以AC为直径的⊙D与x轴交于A、B两点，A、B的坐标分别为（-2，0）和（1，0），BC=．设直线AC与直线x=2交于点E．（1）求以直线x=2为对称轴，且过C

网友回答

解：（1）∵AC为⊙D的直径，
∴BC⊥AB，
∴由已知可得点C（1，），
设抛物线解析式是y=a（x-2）2+k，
将（0，0）、（1，）得：，
解得：，
故抛物线的解析式为：，
设直线x=2与x轴交于点F，则CB∥EF，
∴△ACB∽△AEF，
∴，即，
∴EF=，
∴E（2，），
当x=2时，，
∴抛物线经过点E．

（2）抛物线与x轴的另一个交点N（4，0），设M（x，y），
过C，M分别作x轴的垂线，垂足为G，H，
S△CMN=SCGHM+S△HMN-S△CGN
=（y+）（x-1）+y（4-x）-×3×
=
=
=
=-（x-）2+（1≤x≤4），
当x=时，S△CMN的最大值是．
解析分析：（1）首先判断BC⊥AB，然后求出点C坐标，根据抛物线的对称轴为x=2，可设抛物线解析式是y=a（x-2）2+k，将（0，0）及点C的坐标代入可得出a、k的值，继而得出抛物线解析式，求出点E的坐标后，代入即可判断此抛物线是否过点E．
（2）根据题意画出图形，抛物线与x轴的另一个交点N（4，0），设M（x，y），过C，M分别作x轴的垂线，垂足为G，H，则根据S△CMN=SCGHM+S△HMN-S△CGN，可得△CMN的面积关于x、y的表达式，将，代入可得△CMN的面积关于x的表达式，利用配方法求最值即可．

点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征，难点在第二问，关键是作出图形，得出面积关于x的表达式，要求同学们熟练配方法求二次函数最值的应用．