已知函数f（x）=ax2+2bx+c（a≠0），且f（1）=b．（1）求证：存在x1，x2∈R，使得f（x1）=f（x2）=0；（2）对（1）中的x1，x2，若（a-

网友回答

解：由于f（1）=a+2b+c=b，所以a+b+c=0，b=-a-c．
（1）因为△=（2b）2-4ac=4（b2-ac）=4[（-a-c）2-ac]
=
所以二次函数f（x）的图象与x轴有两个不同的交点，
故存在x1，x2∈R，使得f（x1）=f（x2）=0．
（2）（I）由于（a-b）（a-c）＞0，且b=-a-c，
得（2a+c）（a-c）＞0，两边同除以a2，
有，所以．
（II）由（I）知，，
由于
=
因为，则，
所以2≤|x1-x2|＜2
即．
解析分析：（1）欲证结论成立，即证原函数有两个零点，可根据一元二次方程的根的判别式大于0得到；
（2）条件中f（1）=b可得b=-a-c，代入（a-b）（a-c）＞0，转化成关于的不等式解之即可；
欲求|x1-x2|的取值范围，利用根与系数的关系，可将其转化为的函数，之后求此函数的值域．

点评：二次函数是最基本的初等函数，我们可以以其为载体研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，也可建立起函数、方程、不等式三个二次之间的联系．