若a+2b+3c=12，且a2+b2+c2=ab+bc+ca，则a+b2+c3=________．

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解析分析：通过已知条件，需要求出a、b、c的值，把a2+b2+c2=ab+bc+ca两边都乘以2，然后根据完全平方公式整理得到a=b=c，再代入第一个条件求出a的值，然后代入代数式计算即可．

解答：∵a2+b2+c2=ab+bc+ca，
∴2（a2+b2+c2）=2（ab+bc+ca），
即2（a2+b2+c2）-2（ab+bc+ca）=0，
整理，得（a2-2ab+b2）+（a2-2ca+c2）+（b2-2bc+c2）=0，
即：（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2=0，
∴a=b=c，
又∵a+2b+3c=12，
∴a=b=c=2．
∴a+b2+c3=2+4+8=14．

点评：本题考查了完全平方公式，巧妙地用到了完全平方公式，把已知条件转化为一个完全平方式，再由平方数非负数的性质，得出三个未知数间的相等关系，从而求得三个未知数的值．