设f（x）是定义在集合D上的函数，若对集合D中的任意两数x1，x2恒有成立，则f（x）是定义在D上的β函数．
（1）试判断f（x）=x2是否是其定义域上的β函数？
（2）设f（x）是定义在R上的奇函数，求证：f（x）不是定义在R上的β函数．
（3）设f（x）是定义在集合D上的函数，若对任意实数α∈[0，1]以及集合D中的任意两数x1，x2恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2），则称f（x）是定义在D上的α-β函数．已知f（x）是定义在R上的α-β函数，m是给定的正整数，设an=f（n），n=1，2，3…m且a0=0，am=2m，记∫=a1+a2+a3+…+am，对任意满足条件的函数f（x），求∫的最大值．
网友回答
（1）解：∵==
=-＜0
∴对定义域中的任意两数x1，x2恒有成立，
∴f（x）=x2是其定义域上的β函数；
（2）证明：∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0
∴x1=x2=0时，
∴f（x）不是定义在R上的β函数．
（3）（Ⅱ） 对任意0≤n≤m，取x1=m，x2=0，α=∈[0，1]，
∵f（x）是R上的α-β函数，an=f（n），且a0=0，am=2m，
∴an=f（n）=f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2）=×2m=2n；
那么∫=a1+a2+…+am≤2×（1+2+…+m）=m2+m．
可知f（x）=2x是α-β函数，且使得an=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此时∫=m2+m．
综上所述，∫的最大值为m2+m．
解析分析：（1）根据β函数的定义，对集合D中的任意两数x1，x2恒有成立，可以用作差法证明f（x）=x2是否是其定义域上的β函数；
（2）利用特殊值发进行判断，只要有一个点不满足即可；
（3）对任意0≤n≤m，取x1=m，x2=0，α=∈[0，1]利用α-β函数的概念求得an=2n，从而转化为等差数列的求和问题；
点评：本题考查函数的概念与最值及数列的求和，难点在于通过对α-β函数的理解转化为数列求和问题，属于难题．