已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点M在边BC上，且∠MDB=∠ADB，BD2=AD?BC．（1）求证：BM=CM；（2）作BE⊥DM，垂足为点E

网友回答

证明：（1）∵AD∥BC，AB⊥BC，∠MDB=∠ADB，
∴∠ADB=∠DBC=∠MDB，∠A=90°，
∴BM=DM，
又∵BD2=AD?BC，即，
∴△ADB∽△DBC，
∴∠BDC=∠A=90°，
∴∠C=∠MDC=90°-∠DBC，
∴DM=CM，
∴BM=CM，

（2）∵∠MDC+∠DFB=90°，
∴∠DFB=∠DBC，
∴Rt△DFB∽Rt△DBC，
∴，
∴DF?DC=BD2
∵BD2=AD?BC=AD?BC=AD?﹙2DM﹚=2AD?DM，
∴2AD?DM=DF?DC．
解析分析：（1）首先证明BM=DM，再根据已知条件证明△ADB∽△DBC，由相似的性质可得∠BDC=∠A=90°，进而证明DM=CM，所以BM=CM；
（2）由（1）可知M是BC的中点，所以DM是三角形BDC斜边上的中线，由直角三角形的性质可知BC=2DM，证明Rt△DFB∽Rt△DBC可得，所以BD2=DF?DC，又因为BD2=AD?BC，所以BD2=AD?BC=AD?﹙2DM﹚=2AD?DM．

点评：本题考查了梯形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及比例式的证明，题目的综合性很强，难度不小．